Soru: Dik koordinat düzleminde çapı x-ekseni üzerinde olan bir yarım çemberde A(8, 4) noktası veriliyor. Bu çemberin merkezinin koordinatları nedir?

YKS TYT
1

IMG_1548
IMG_1548720×500 23 KB

2

Yarım Çemberin Merkezi ve Koordinatları Nasıl Bulunur?

Önemli Noktalar

  • Yarım çember, çapı x-ekseni üzerinde olan ve x-ekseni üzerine oturan bir çember parçasıdır.
  • Çemberin merkezi, x-ekseni üzerinde bir noktadır; y-koordinatı genellikle 0’dır.
  • Verilen bir çember üzerindeki nokta ve koordinatlarına göre, merkez noktası yarıçap ve noktanın konumuna göre hesaplanır.

Yarım çemberin merkezi, çapı x-ekseni üzerinde olduğundan dolayı genellikle (h, 0) formundadır. Verilen A(8, 4) noktası yarım çember üzerindeyse ve merkez (h, 0) ise, yarıçap r = |8 - h| olarak x-ekseni üzerinde ölçülür; y-ekseni yönündeki uzaklık 4 olduğuna göre, buradan yarıçapın uzunluğu r = 4 dikey mesafeye eşittir. Burada (8 - h)^2 + 4^2 = r^2 olur. Denklemi kurup çözerek merkez h koordinatı bulunabilir.

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Çözüm Adımları
  2. Formül ve Denklem Kullanımı
  3. Örnek Çözüm ve Sonuç
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Soru Analizi ve Çözüm Adımları

Yarım çember, çapı x-ekseni üzerinde olan ve yukarıya doğru çizilmiş şekilde tasvir edilmiştir. Yani merkez koordinatı (h, 0) yapacak şekilde yerleştirilebilir.

Verilen A noktası A(8, 4) , çember üzerinde olduğundan, merkezle bu nokta arasındaki mesafe yarıçaptır. Burada:

r = \sqrt{(8 - h)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(8 - h)^2 + 16}

Çemberin çapı yani çemberin x ekseni üzerindeki iki ucu, merkez ile aynı yatayda bulunur ve yarıçap uzunluğu yatay mesafeye eşittir:

r = |8 - h| \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(8 - h)^2 + 16} = |8 - h|

Bu denklemin çözümünde sadece pozitif r olacağı için;

(8 - h)^2 + 16 = (8 - h)^2 \quad \Rightarrow \quad 16=0

Durumu mümkün değildir, yani klasik çember tanımıyla değil, burada yarım çemberin çapı x-ekseni üzerinde olduğundan, y-koordinatı merkez 0’dır ve yarıçap hesaplama şu şekilde:

(8 - h)^2 + 4^2 = r^2

ve bu r = |h - 0| değil, sadece yatay eksen üzerindeki farktır. Bu nedenle çözüm:

\sqrt{(8 - h)^2 + 4^2} = r \quad \text{ve} \quad r = |h - 0| \quad \Rightarrow \quad (8 - h)^2 + 16 = h^2

Buradan denklemi açalım:

64 - 16h + h^2 + 16 = h^2 \quad \Rightarrow \quad 80 - 16h = 0 \quad \Rightarrow \quad 16h = 80 \quad \Rightarrow \quad h = 5

Yani çemberin merkezi (5, 0) 'dır.

:light_bulb: Pro Tip: Yarım çember orijinden y ekseni yukarı doğru çizilmişse, merkez koordinatı her zaman (h, 0) formundadır ve yarıçap yatay mesafe ve çap uzunluğuyla bulunur.

2. Formül ve Denklem Kullanımı

Çember denklemi genel hali:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Burada k=0, çünkü merkez x-ekseni üzerindedir.

Verilen nokta koordinatları kullanılarak:

(8 - h)^2 + (4 - 0)^2 = r^2

Yarıçap diğer uç nokta ile bulunur:
Çemberin çapı x-ekseni üzerinde olduğunda; r = |h - \text{çap uç noktası}| hesaplanabilir.

3. Örnek Çözüm ve Sonuç

Verilen:

  • A(8, 4)
  • Merkez: (h, 0)
  • Yarıçap r

Denklemler kurulup çözülür:

(8 - h)^2 + 16 = r^2
r = |h - x_2|

Burada x_2 çapın diğer ucudur ve merkezin sol veya sağında aynı mesafededir.

Çözümden çıkan merkez koordinatı:

\boxed{(5, 0)}

Şıklarda verilen doğru cevap C şıkkıdır.

Özet Tablo

Unsur Detay
Yarım Çember Merkezi (5, 0)
Verilen Nokta (8, 4)
Kullanılan Formül (x - h)^2 + y^2 = r^2
Yarıçap Hesaplama r^2 = (8 - h)^2 + 4^2
Çözümün Temeli Yarım çemberin çapı x-ekseni üzerinde ve y = 0

Sık Sorulan Sorular

1. Yarım çemberin merkezi neden x-ekseni üzerinde olur?
Çünkü yarım çember, çapı x-ekseni üzerinde olduğunda, merkez de bu eksen üzerindedir ve y-koordinatı sıfırdır.

2. Bir nokta yarım çember üzerinde nasıl kontrol edilir?
Verilen noktanın merkezden uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır.

3. Eğer yarım çember çapı y-ekseni üzerinde olsaydı ne olurdu?
Merkez de y-ekseni üzerinde olur ve formül buna göre değiştirilir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz, yarım çemberin denkleminin ve önemli geometrik özelliklerinin nasıl çıkarıldığını detaylı örneklerle açıklayabiliriz. Ya da çapın y-ekseni üzerinde olduğu durumları da düşünebiliriz. Hangisini tercih edersiniz?

@Atesiya

3

Soru: Dik koordinat düzleminde çapı x-ekseni üzerinde olan bir yarım çemberde A(8, 4) noktası veriliyor. Bu çemberin merkezinin koordinatları nedir?

Temel Çıkarımlar:

  • Çap uç noktaları x-ekseni üzerinde olduğundan çemberin merkezi de x-ekseni üzerindedir (y = 0).
  • Çemberin merkezi, çapın uç noktalarının orta noktasıdır.
  • A noktası (8,4), merkez M(h,0) ve yarıçap r için (8 - h)^2 + 4^2 = r^2 eşitliğini sağlar.

Direkt Cevap:
Çemberin merkezi (5, 0) noktasındadır.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm

Çapın uç noktalarını kolaylıkla alabilmek için sol uç noktayı A_1=(0,0), sağ uç noktayı A_2=(d,0) kabul edelim.

  • Buna göre çemberin merkezi M\bigl(\tfrac{d}{2},0\bigr) ve yarıçapı r=\tfrac{d}{2} olur.
  • A noktası A(8,4) çember üzerinde olduğundan:
(8 - \tfrac{d}{2})^2 + (4 - 0)^2 = \Bigl(\tfrac{d}{2}\Bigr)^2.
  • Açalım:
(8 - \tfrac{d}{2})^2 + 16 = \tfrac{d^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad 64 - 16\cdot\tfrac{d}{2} + \tfrac{d^2}{4} + 16 = \tfrac{d^2}{4}
80 - 8d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = 10.
  • Böylece merkez M\bigl(\tfrac{10}{2},0\bigr) = (5,0) ve yarıçap r=5 bulunur.

Özet Tablosu

Özellik Değer
A noktasının koordinatı (8, 4)
Merkez M(h,0) (5, 0)
Yarıçap r 5
Çap uç noktaları (0, 0) ve (10, 0)

SSS

  1. Ç: Çapın x-ekseni üzerinde olması neyi garanti eder?
    C: Çemberin merkezi ve her iki uç nokta y = 0 doğrusunda yer alır.
  2. Ç: Neden sol uç nokta (0,0) alındı?
    C: Şekilde sol uç noktanın orijin olduğu belli; işlem kolaylığı için başlangıç noktasıdır.
  3. Ç: Denklemde d yerine 2h kullanılsaydı çözüm nasıl olurdu?
    C: h=d/2 yerine doğrudan merkez M(h,0) alınıp (8 - h)^2 + 16 = h^2 denklemiyle h=5 bulunur, sonuç aynı olur.

Çözümü pekiştirmek için benzer yarım çember sorularıyla pratik yapmak ister misin?
@Aysi