Soru çözümümm

YKS TYT
,
1

IMG_9872
IMG_9872720×1558 41 KB

2

Tan(∠BED) Kaçtır?

İçindekiler

  1. Soru Özeti
  2. Koordinat Sistemine Yerleştirme
  3. Noktaların Koordinatları
  4. E Noktasının Bulunması
  5. Açı Tanımı ve Tanjant İlişkisi
  6. tan(∠BED) Hesaplaması
  7. Sonuç ve Özet Tablosu

1. Soru Özeti

Şekilde;

  • [AB]\perp[BC],
  • [DC]\perp[BC],
  • AB=3\,br, BC=12\,br, CD=5\,br,
  • E, AD doğrusu ile BC doğrusunun kesişim noktası.

Aranan: \displaystyle \tan\bigl(\angle BED\bigr).

2. Koordinat Sistemine Yerleştirme

  • BC doğrusu düşey (y‐ekseni),
  • AB\perp BC olduğu için AB yatay (x‐ekseni).

Buna göre:

  • B(0,0)
  • C(0,-12) (çünkü BC=12 ve B’den aşağı doğru)
  • A(3,0) (çünkü AB=3 ve B’den sağa doğru)
  • D(-5,-12) (çünkü CD=5 ve C’den sola doğru)

3. Noktaların Koordinatları

Nokta Koordinat Açıklama
A (3,\,0) AB=3 yatay uzunluk
B (0,\,0) Orijin
C (0,\,-12) BC=12 düşey uzunluk
D (-5,\,-12) CD=5 yatay uzunluk sola

4. E Noktasının Bulunması

E, A(3,0) ile D(-5,-12) doğrusu üzerinde ve x=0 (BC doğrusu) üzerinde.
Parametrik denklemle:
(x,y)=(3-8t,\;-12t),\;t\in[0,1]
x=0\Rightarrow3-8t=0\;\Rightarrow t=\tfrac{3}{8}
y=-12\cdot\tfrac{3}{8}=-4.5

Böylece E\bigl(0,-4.5\bigr).

5. Açı Tanımı ve Tanjant İlişkisi

  • \angle BED, E noktasında EB doğrusu ile ED doğrusu arasındaki küçük açıdir.
  • EB düşey, ED ise eğimli.
  • Düşey ile eğimli doğru arasındaki açının tanjantı, eğimin tersi (reciprocal) olarak bulunur:
    \displaystyle \tan\theta = \bigl|\tfrac{1}{m_{ED}}\bigr|

6. tan(∠BED) Hesaplaması

  1. ED doğrusunun eğimi:
    m_{ED}=\frac{y_D-y_E}{x_D-x_E} =\frac{-12-(-4.5)}{-5-0} =\frac{-7.5}{-5} =1.5
  2. Düşey ile açı \theta arasındaki tanjant:
    \tan(\angle BED) =\frac{1}{|m_{ED}|} =\frac{1}{1.5} =\frac{2}{3}

7. Sonuç ve Özet Tablosu

Sonuç: \displaystyle \tan\bigl(\angle BED\bigr)=\frac{2}{3}

Aşama Değer/Şık
E Noktası (0,-4.5)
m_{ED} Eğimi 1.5
\tan(\angle BED) \tfrac{2}{3}

@delta_kaya

3

Soru: tan(BED) kaçtır?

Çözüm (adım adım):

  1. Kolay işlem yapmak için koordinat koyalım. B noktası üstte, C 12 birim aşağıda, D C’ye göre 5 birim sola, A ise B’den 3 birim sağda olacak şekilde alabiliriz:
  • B=(0,0)
  • C=(0,-12) (çünkü BC=12)
  • D=(-5,-12) (çünkü CD=5 yatay)
  • A=(3,0) (çünkü AB=3 yatay; AB\perp BC)
  1. Doğru AD ile düşey doğrusu BC kesişiyor; kesişim noktası E için parametreleştirelim:
  • AD: (x,y)=(3,0)+t(-8,-12)=(3-8t,\,-12t).
  • x=0 (BC üzeri) için 3-8t=0 \Rightarrow t=\tfrac{3}{8}.
  • Böylece E=(0,\,-12\cdot\tfrac{3}{8})=(0,-4{,}5).
  1. BE doğrusu dikeydir (yukarıya doğru). ED doğrusu E ile D arasındaki vektör:
  • ED=D-E=(-5,-12)- (0,-4{,}5)=(-5,-7{,}5).
  • ED doğrultusunun eğimi m_{ED}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-7{,}5}{-5}=1{,}5=\tfrac{3}{2}.
  1. Bir doğrunun eğimi m ile düşey doğrultu arasındaki açının tan’ı 1/m olur (pozitif eğimler için). Dolayısıyla
  • \tan(\angle BED)=\dfrac{1}{m_{ED}}=\dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}.

Cevap: \boxed{\tfrac{2}{3}}.

Kısa özet tablo:

Nokta Koordinat
A (3,0)
B (0,0)
C (0,-12)
D (-5,-12)
E (0,-4{,}5)

Sonuç: tan(BED) = 2/3.