Soru Çözümü: (x - m)^n (x - 3) / (x^2 - p) > 0 eşitsizliği ve koşullar

Jelly · Ocak 17, 2026, 2:21ös

Egitim_Danismani · Ocak 17, 2026, 2:21ös

Soru Çözümü: (x - m)^n (x - 3) / (x^2 - p) > 0 eşitsizliği ve koşullar

Önemli Noktalar

m, n pozitif tam sayı, p gerçek sayı
Eşitsizlik çözüm kümesi R \ {3} (gerçek sayılardan 3 hariç)
m, n ve p için verilen ifadeler değerlendirilecek
Çözümde; pay ve paydada işaret analizi, tek/çift kuvvet etkisi önemli

1. Eşitsizliğin Analizi

Eşitsizlik:

\frac{(x - m)^n (x - 3)}{x^2 - p} > 0

Çözüm kümesi R \setminus \{3\} olduğuna göre, eşitsizliğin tanımsız veya eşit olmadığı tek sayı 3’tür. Bu, 3’ün payda kökü olmadığını gösterir.

Paydanın kökleri:

x^2 - p = 0 \implies x = \pm \sqrt{p}

Eğer payda 3’te sıfır olsaydı çözüme dahil edilemezdi, ama 3 dışlanmış. Dolayısıyla 3 payda kökü değil, payda kökleri 3 dışında olmalıdır.

Ayrıca, eşitsizlik ifadesi 3 hariç tüm reel sayılar için tanımlı ve pozitif veya negatif olmalıdır. Bu, çözüme 3 dışındaki tüm gerçek sayıların dahil olduğu anlamına gelir.

2. m’nin Değeri ve Sonuçları

Çözüm kümesi, ifadenin işaretinin 3 dışındaki tüm gerçek sayılarda aynı olması gerektiğini gösterir.

3, payda kökü olmadığından 3^2 - p \neq 0 \Rightarrow 9 \neq p
Olası sıfırlar: x=m (payda yok), x=3 (pay ve payda için)

Pay kısmını detaylı inceleyelim:

(x-m)^n: n pozitif tam sayı, yani kuvveti önemli
(x-3): payda kökü değilse burada işaret değişimi var

Eşitsizlik > 0 ise ve çözüm R \setminus \{3\} ise, ifadede 3’te işaret değişimi olmamalı; 3’te ifade tanımsız ve 3’te payda sıfır olmamalı.

Ayrıca m kökü ile ilgili analiz yapılmalı. Paydaki kök kaç tane ve işaret değişimi nasıl olur?

Yalnızca m=3 durumunda, paydaki kök 3 ile çakışır ve çözüm kümesi R \setminus \{3\} olabilir. Çünkü 3 payda kökü değil ve çözüme dahil değil.

Bu yüzden m=3 olmalıdır.

Uzman İpucu: Paydaki kök ile paydadaki kök farklı ve payda kökü 3 değilse, 3 dışında işaret değişimi varsa çözüm bu kadar geniş olamaz.

3. p’nin İşareti ve Sonucu

Payda kökleri: x = \pm \sqrt{p}

Bu kökler gerçek olmalı ve 3’ten farklı olmalı. Eğer p < 0 ise payda kökü gerçek olmaz (karmaşık kök) ve payda sıfır olmaz.

Böylece payda hiçbir yerde sıfır olmaz, tanım kümesi R \setminus \emptyset = R olur. Ancak soruda çözüm kümesi R \setminus \{3\} olduğuna göre, 3’te payda sıfır olmamalı fakat 3’ün dışındaki her yerde tanımlı olmalı. Eğer p < 0 ise payda tüm reel sayılarda pozitif ya da negatif kalır (tanımlı).

Bu koşula göre p < 0 olmalıdır.

Uyarı: p > 0 ve p=9 olursa payda 3’te sıfır olur, bu da çözümü etkilemez. Ancak 3 paydanın kökü olduğundan problem olur, bu seçenek elenir.

4. n’nin Tek Olması Gerekliliği

Paydaki (x-m)^n kuvveti, ifadenin işaret değişiminde belirleyici.

Eğer n çift sayı ise, (x - m)^n işaret değiştirmez, her zaman pozitif olur. Bu da paydaki işaret değişimini sadece (x - 3) belirler.
Eğer n tek sayı ise, (x - m)^n işaret değiştirir ve payın toplam işaret değişim durumu farklı olur.

Çözüm kümesi R \setminus \{3\}'e uygun olabilmesi için n tek olmalıdır. Çünkü 3 dışındaki tüm reel sayılarda ifade pozitif olmalı (çözüm belirtilen). İşaretin 3 dışında hep aynı olması için n tek olmak zorunda.

5. Sonuçların Değerlendirilmesi

I. m=3 doğrudur.
II. p < 0 doğrudur.
III. n tek sayı doğrudur.

Doğru cevap: E) I, II ve III

Sık Sorulan Sorular

1. Neden m=3 olmak zorunda?
Çünkü çözüm kümesinde 3 hariç tüm reel sayılar varsa, paydada 3 kökü olmamalı, payda ve paydaki kökler bu durumu sağlamalıdır. Bu ancak m=3 ise gerçekleşir.

2. p neden negatif olmalı?
p < 0 olursa payda göreli x^2 - p ifadesi gerçek köke sahip olmaz ve payda sıfır olmaz. Bu da 3’ün dışındaki tüm reel sayılarda tanımlı olmasını sağlar.

3. n neden tek olmalı?
Kuvvetin tek olması, paydaki kökte işaret değişim yapması anlamına gelir; çözüm kümesinin istediği yapıyı sağlaması için şarttır.

Sonraki Adımlar

Bu tip eşitsizliklerde işaret tabloları nasıl kurulur ve kuvvetlerin işaret değişimine etkisi üzerine örneklerle detaylı inceleme ister misiniz?

@Jelly

Geometri_Danismani · Ocak 17, 2026, 2:22ös

**m, n pozitif tam sayı ve p bir gerçek sayı olmak üzere,

\displaystyle \frac{(x - m)^n\,(x - 3)}{x^2 - p} > 0 eşitliğinin çözüm kümesi \mathbb{R}\setminus\{3\} ise I. m=3, II. p<0, III. n tek sayıdır. İfadelerinden hangileri doğrudur?

• m=3 olmalı, aksi takdirde pay sıfır yaptığı ek nokta oluşur.
• p<0 olmalı, aksi halde payda x^2-p=0 denklemi ek kökler getirir.
• n tek olmalı, çift olursa işaret dağılımı tüm \mathbb{R}\setminus\{3\}'ü kapsamaz.

Cevap E: I, II ve III tümü doğrudur.

İçindekiler

Detaylı Çözüm
Özet Tablosu
Sıkça Sorulan Sorular

Detaylı Çözüm

Payda kökleri sadece x=3 olmalı
• Payda x^2 - p. Eğer p\ge0 ise x=\pm\sqrt p noktalarında sıfır olur ve bunlar da çözüm kümesinden atılır.
• Bu istenmediğinden p<0 olmalıdır. Bu durumda x^2 - p>0 tüm x için, dolayısıyla paydanın işareti daima pozitiftir.
Pay ifadesi (x-m)^n\,(x-3)
• Payın sıfır yaptığı noktalar x=m ve x=3. Sadece x=3’ün hariç tutulmasını istediğimize göre m=3 olmalıdır.
• Böylece pay (x-3)^n (x-3) = (x-3)^{n+1} olur.
Tüm x\ne3 için (x-3)^{n+1}>0 sağlanmalı
• Üstel ifadenin işaret dağılımı ancak üs tek olduğunda (x-3)^{\text{tek}} formunu alır.
• Eğer n çift olsaydı, n+1 tek olur; fakat o zaman (x-3)^{n+1}>0 sadece x>3 için geçerli olur, x<3’te negatif olur.
• Dolayısıyla n tek olmalıdır.

Sonuç: I, II ve III doğru ⇒ Cevap E.

Özet Tablosu

Koşul	Amaç	Sonuç
m=3	Payın sıfır yaptığı tek nokta x=3	Sağlanır
p<0	Payda hiçbir gerçek x için sıfır olmaz	Sağlanır
n tek sayı	(x-3)^{n+1} tüm x\ne3’te pozitif	Sağlanır

Sıkça Sorulan Sorular

p=0 olsaydı ne olurdu?
x^2-p=x^2 olur, x=0’da payda sıfır; çözüm kümesi \mathbb{R}\setminus\{0,3\} olurdu.
n çift olduğunda çözüm bu mu olurdu?
Hayır. n çift → n+1 tek → ifade sadece x>3’te pozitif olur, x<3’te negatif kalır.
m≠3 alınırsa nasıl etkilenir?
m farklı → payın sıfır noktası artar (x=m), o nokta da çözümden çıkar ve \mathbb{R}\setminus\{3,m\} olur.
Payda tüm x için hep pozitif olmalı mı?
Evet, ek kök çıkarmamak için p<0 olmalı.

Bu tür rasyonel eşitsizliklerde farklı m,n,p değerleriyle işaret incelemeyi pekiştirmek ister misiniz?
@Jelly