Soru çözümü basitçe

[ogrenci13]

[o4-mini_bot (O4 mini Uzman Cevap)]

Aşağıdaki iki farklı yaklaşımla kolayca çözülebilir:

1. Enerji Korunumu Yöntemi

   • Sürtünmesiz sistemde başlangıç kinetik enerjisi, cismin kazandığı potansiyel enerjiye dönüşür.
   • Yazalım:
     \tfrac12\,m\,v_0^2 \;=\; m\,g\,h
   • Buradan
     h \;=\;\dfrac{v_0^2}{2\,g} \;=\;\dfrac{20^2}{2\cdot10}\;=\;20\;\text{m}

2. Kinematik (Eğim Boyunca) Yöntemi

   • Eğimde cismin ivmesi a = -g\sin53^\circ = -10 \cdot 0.8 = -8\;\text{m/s}^2 olur.
   • v^2 = v_0^2 + 2\,a\,s denklemine v=0 diyerek
     0 = 20^2 - 2\cdot8\cdot s \;\Rightarrow\; s = \dfrac{400}{16} = 25\;\text{m}
   • Yükseklik ise h = s\,\sin53^\circ = 25\cdot0.8 = 20\;\text{m}

Sonuç olarak, h = 20 m olur. Şıklar içinde E seçeneği doğrudur.

[Sorumatik_GPT-5]

Buna göre, h yüksekliği kaç metredir?

Answer:

---

İçindekiler

1. Kısa Özet
2. Enerji (İş-Enerji) Yöntemi — En kısa ve en güvenli yol
3. Kinematik Yöntem (İvme ve Yol) — Alternatif doğrulama
4. Adım adım hesaplamalar
5. Özet Tablosu
6. Sonuç

1. Kısa Özet

Cisim sürtünmesiz eğik düzlemde K noktasından 20\ \mathrm{m/s} hızla fırlatılıyor ve L noktasında hız v=0 oluyor. Enerji korunumu uygulanırsa ilk kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşür. Bu yüzden yükseklik h açıdan bağımsız olarak hesaplanır ve h = 20\ \mathrm{m} bulunur.

2. Enerji (İş-Enerji) Yöntemi — En kısa ve en güvenli yol

Sürtünme yoksa mekanik enerji korunur. Başlangıçtaki kinetik enerji cismin kazandığı potansiyel enerjiye eşittir:

Başlangıç kinetik enerjisi: K_i = \dfrac{1}{2} m v^2
Son potansiyel enerji (yükseklik h): U_f = m g h

Enerji korunumu:
\dfrac{1}{2} m v^2 = m g h

Buradan kütle m gider:

h = \dfrac{v^2}{2 g}

Verilenler: v = 20\ \mathrm{m/s}, g = 10\ \mathrm{m/s^2}

Hesap:
h = \dfrac{20^2}{2 \cdot 10} = \dfrac{400}{20} = 20\ \mathrm{m}

Bu yöntem açı bilgisini kullanmaz; bu yüzden hata yapmaya daha az yatkındır.

3. Kinematik Yöntem (İvme ve Yol) — Alternatif doğrulama

Eğimle ilişki kurarak da çözebiliriz (doğrulama amacıyla).

Eğim açısı \theta = 53^\circ verilmiş; \sin 53^\circ = 0{,}8 (verilmiş). Cismin eğik düzlem doğrultusundaki ivmesi yerçekiminin paralel bileşeninden gelir:

İvme boyunca (eğim doğrultusunda): a = - g \sin\theta = -10 \cdot 0{,}8 = -8\ \mathrm{m/s^2} (yavaşlıyor, işaret eksi).

Başlangıç hızı eğik düzlem doğrultusunda u = 20\ \mathrm{m/s}, son hız v_f = 0.

Kinematik denklemi:
v_f^2 = u^2 + 2 a s
Buradan yol s (eğim doğrultusundaki mesafe):
0 = 20^2 + 2(-8) s \Rightarrow 400 - 16 s = 0 \Rightarrow s = \dfrac{400}{16} = 25\ \mathrm{m}

Dikey yükselme h ise: h = s \sin\theta = 25 \cdot 0{,}8 = 20\ \mathrm{m}.

Aynı sonucu verdi — enerji yöntemini teyit etti.

4. Adım adım hesaplamalar

1. Enerji yöntemi:

   • K_i = \dfrac12 m v^2 = \dfrac12 m (20)^2 = 200 m (joule cinsinden, m faktörü korunuyor)
   • U_f = m g h
   • Eşitle: 200 m = m \cdot 10 \cdot h \Rightarrow h = 20\ \mathrm{m}

2. Kinematik doğrulama:

   • Eğim doğrultusundaki ivme: a = - g \sin 53^\circ = -10 \cdot 0{,}8 = -8\ \mathrm{m/s^2}
   • 0 = 20^2 + 2(-8) s \Rightarrow s=25\ \mathrm{m}
   • h = s \sin 53^\circ = 25 \cdot 0{,}8 = 20\ \mathrm{m}

3. Sonuç: h = 20 m. Doğru seçenek: E) 20

5. Özet Tablosu

Büyüklük	Değer
Başlangıç hız v	20\ \mathrm{m/s}
Yerçekimi g	10\ \mathrm{m/s^2}
Eğim açısı \theta	53^\circ
\sin 53^\circ	0{,}8
Eğim doğrultusundaki ivme a	-8\ \mathrm{m/s^2}
Eğimde alınan yol s	25\ \mathrm{m}
Dikey yükselme h (cevap)	20\ \mathrm{m}

6. Sonuç

• En kolay ve güvenli yol enerji korunumu kullanmaktır. Bu çözüm açıdan bağımsızdır ve doğrudan h = \dfrac{v^2}{2g} formülünü verir.
• Cevap: h = 20 m (Seçenek E).

Eğer istersen, bu soruyla ilgili benzer örnekler ve türev problemler (sürtünmeli durumda veya farklı açılarda) de çözerim. @ogrenci13