A ve B açıları için
m(A) + m(B) = 180° ⇒ B = 180° – A
Buna göre temel trigonometrik fonksiyonların tamamlayanı olan açıdaki değerleri hatırlayalım:
- sin B = sin(180° – A) = sin A
- cos B = cos(180° – A) = –cos A
- tan B = tan(180° – A) = –tan A
- cot B = cot(180° – A) = –cot A
Şıklarımızı bu bilgilere göre inceleyelim:
A) cos A = sin B
sağ taraf = sin A ⇒ cos A = sin A ⇒ yalnız A=45° için geçerli, genel olarak yanlış.
B) sin A = cos B
sağ taraf = –cos A ⇒ sin A = –cos A ⇒ ancak bazı özel açılar için, genel değil.
C) cot A = tan B
tan B = –tan A ⇒ cot A = –tan A ⇒ 1/tan A = –tan A ⇒ tan²A = –1 ⇒ gerçek açı için imkânsız.
D) cos A = cos B
cos B = –cos A ⇒ cos A = –cos A ⇒ 2 cos A = 0 ⇒ cos A = 0 ⇒ yalnız A=90°, sabit değil.
E) tan A = –tan B
tan B = –tan A ⇒ −tan B = tan A ⇒ her zaman doğru.
Dolayısıyla kesinlikle doğru olan ifade E şıkkıdır:
tan A = –tan B.
Soru: m(Â) + m( B̂ ) = 180°, Â > 0°, B̂ > 0° olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Cevap: E) \tan(\hat A) = -\tan(\hat B).
Answer:
Önce verilen bilgiden başlayalım. Eğer
m(\hat A) + m(\hat B) = 180^\circ ise
$$ \hat B = 180^\circ - \hat A. $$
Bunun trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki etkilerini kullanarak her seçeneği adım adım inceleyelim. Hatırlayalım temel kimlikleri (her biri açı x için):
- \sin(180^\circ - x) = \sin x
- \cos(180^\circ - x) = -\cos x
- \tan(180^\circ - x) = -\tan x
- \cot(180^\circ - x) = -\cot x
Şimdi seçenekleri tek tek değerlendirelim.
-
A) \cos(\hat A) = \sin(\hat B)
Sağ taraftaki terimi açalım: \sin(\hat B)=\sin(180^\circ - \hat A)=\sin(\hat A) .
Dolayısıyla ifade \cos(\hat A) = \sin(\hat A) olur. Bu her \hat A için doğru değildir (örneğin \hat A=30^\circ için \cos30^\circ \neq \sin30^\circ). Sadece özel bir açı (ör. 45^\circ) için olur. Sonuç: genel olarak yanlış. -
B) \sin(\hat A) = \cos(\hat B)
Sağdaki: \cos(\hat B)=\cos(180^\circ - \hat A)= -\cos(\hat A) .
İfade \sin(\hat A) = -\cos(\hat A) olur; bu da genel olarak doğru değildir. Sonuç: yanlış. -
C) \cot(\hat A) = \tan(\hat B)
Sağdaki: \tan(\hat B)=\tan(180^\circ - \hat A)= -\tan(\hat A) .
Sol: \cot(\hat A)=\dfrac{1}{\tan(\hat A)} . Eşitlik \dfrac{1}{\tan(\hat A)} = -\tan(\hat A) demektir; bu ancak \tan^2(\hat A) = -1 olursa doğru olur ki reel açılar için böyle bir durum yoktur. Sonuç: yanlış. -
D) \cos(\hat A) = \cos(\hat B)
Sağdaki: \cos(\hat B)= -\cos(\hat A) . Eşitlik \cos(\hat A) = -\cos(\hat A) ise ancak \cos(\hat A)=0 olduğunda sağlanır (ör. \hat A=90^\circ). Ancak bütün A için doğru değildir. Sonuç: yanlış. -
E) \tan(\hat A) = -\tan(\hat B)
Sağdaki: \tan(\hat B)=\tan(180^\circ - \hat A)= -\tan(\hat A) .
Bu eşitlik doğrudan \tan(\hat B) = -\tan(\hat A) verdiğinden, yazılış biçimini düzenleyince \tan(\hat A) = -\tan(\hat B) elde edilir. Yani bu ifade her zaman doğrudur (tan tanımlı olduğu sürece, fakat verilen koşulda açıların 0° den büyük ve toplam 180° olduğu için tan için alınabilecek durumlarda geçerlidir; özel durumlarda tan tanımsız olabilir, ör. \hat A=90^\circ, \hat B=90^\circ gibi, ama eşitlik tanımsızlık durumları dışında geçerlidir). Sonuç: doğru.
Sonuç olarak kesinlikle doğru olan seçenek E şıkkıdır.
Adım adım çözüm özeti
- Verilen: m(\hat A)+m(\hat B)=180^\circ \Rightarrow \hat B = 180^\circ - \hat A.
- Kullanılan özdeşlikler: \sin(180^\circ - x)=\sin x,\; \cos(180^\circ - x)=-\cos x,\; \tan(180^\circ - x)=-\tan x.
- Yukarıdan sadece \tan(\hat A) = -\tan(\hat B) ifadesi her durumda sağlamaktadır.
Özet tablo (şıkların kontrolü)
| Şık | İfade | Değerlendirme |
|---|---|---|
| A | \cos\hat A = \sin\hat B | Yanlış (genel değil) |
| B | \sin\hat A = \cos\hat B | Yanlış |
| C | \cot\hat A = \tan\hat B | Yanlış |
| D | \cos\hat A = \cos\hat B | Yanlış (sadece özel A’lar için) |
| E | \tan\hat A = -\tan\hat B | Doğru (her zaman, tan tanımlıysa) |
Kısa not: Eğer \hat A veya \hat B için tan tanımsızsa (örneğin 90° gibi), o özel durumda ifadeler tanımlı olmayabilir; fakat verilen koşullarda genel kimlik olarak E şıkkı doğrudur.
Başka bir sorunuz veya bu sorunun benzeri bir örneği çözmemi isterseniz memnuniyetle yardımcı olurum. @delta_kaya