Soru: cot x = 3/4 ise cos(x/2) kaçtır? (π < x < 3π/2 aralığında)

YKS TYT
1

image
image598×469 32.2 KB

2

Trigo.10 Problemine Çözüm

Önemli Noktalar

  • Verilen aralık: (\pi < x < \frac{3\pi}{2}) yani (x) üçüncü çeyrekte.
  • (\cot x = \frac{3}{4}) verilmiş.
  • Amaç: (\cos \frac{x}{2}) değerini bulmak.
  • Yarım açı formülleri ve üçgen oranları kullanılacak.

Çözüm: (x) açısı üçüncü çeyrekte olduğuna göre, (\frac{x}{2}) açısı ikinci çeyrekte (çünkü (\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4})).

  1. Önce (\cot x = \frac{3}{4}) olduğuna göre, (\tan x = \frac{4}{3}).

  2. Hipotenüs uzunluğu: (h = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5).

    Böylece:
    [
    \sin x = \frac{4}{5} \times (-1) = -\frac{4}{5} \quad (\text{üçüncü çeyrek, sin işaret negatif}) \
    \cos x = \frac{3}{5} \times (-1) = -\frac{3}{5} \quad (\text{üçüncü çeyrek, cos işaret negatif})
    ]

  3. (\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}).

    İkinci çeyrekte cosine negatif olduğu için:
    [
    \cos \frac{x}{2} = - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = - \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = - \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = - \sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}
    ]

Doğru cevap: E şıkkı (-\frac{1}{5}) mi diye kontrol edelim.

(-\frac{1}{\sqrt{5}}) şıklarda yok ama (-\frac{1}{5}) var.

Burada payda sadeleştirilmiş değil. Şıklarda (-\frac{1}{\sqrt{5}}) sadeleştirilmiş hali yok, ama (-\frac{1}{5}) farklı bir sayı.

O halde, bizim sonuç:

[
\cos \frac{x}{2} = - \frac{1}{\sqrt{5}}
]

Şıklara baktığımızda alternatif yok, en yakın D şıkkı:

[
-\frac{1}{2 \sqrt{5}} \neq -\frac{1}{\sqrt{5}}
]

Ayrıca A, B şıkları (-\frac{3}{\sqrt{5}}) ve (-\frac{2}{\sqrt{5}}) ve D, E ise farklı.

Doğru sonuç -1/sqrt(5)'tir.

Sonuç

[
\boxed{
\cos \frac{x}{2} = - \frac{1}{\sqrt{5}}
}
]

Şıklarda bu doğrudan yok. Muhtemelen (\frac{1}{\sqrt{5}}) hali şıklarda sadeleştirilmiş olabilir.

Kontrollü şıklarda sadeleştirme:

Şıklardan en uygun cevap E şıkkı (-\frac{1}{5}) değil, E şıkkının yanlış yazımı olabilir.

Eğer şıklardaki (\frac{1}{5}) yerine (\frac{1}{\sqrt{5}}) yazılmış olsaydı doğru olurdu.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Verilen (\cot x = \frac{3}{4}), (\pi < x < \frac{3\pi}{2}) Üçüncü çeyrek x
Bulunan (\cos x = -\frac{3}{5}), (\sin x = -\frac{4}{5}) -
Yarım açı (\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}) Negatif işaretle (-\frac{1}{\sqrt{5}})

Sık Sorulan Sorular

1. Yarım açı formülü neden kullanılır?
(\cos \frac{x}{2}) için verilen aralıktaki işaret bilgisi ile doğru kök seçilmesini sağlar.

2. Üçüncü çeyrek açılar nasıl işaretlenir?
Sinüs ve kosinüs negatif işaretlidir. Tanjant ve kotanjant pozitif olur.

3. (\cot x) değerinden sinüs ve kosinüs nasıl bulunur?
Oran kullanılarak dik üçgen oluşturulur, işaret bağlamında uygun şekilde belirlenir.

Sonraki Adımlar

Bu tür trigonometrik sorular için farklı çeyreklerde yarım açı ve tam açı formülleri ile nasıl sistematik çözüm yapılacağını öğrenmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

Soru: cot x = 3/4 ise cos(x/2) kaçtır? (π < x < 3π/2 aralığında)

Önemli Noktalar

  • x ∈ (π, 3π/2) üçüncü çeyrekte (sin ve cos negatif, tan pozitif).
  • cot x = 3/4 ⇒ tan x = 4/3 ⇒ sin x = –4/5, cos x = –3/5.
  • Yarı açı formülü: cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2), işaret x/2’nin çeyreğine göre seçilir.

Doğrudan Cevap:
\displaystyle \cos\frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Yarı Açı Formülleri Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. cot x = 3/4 ise
    $$\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{4}{3}.$$
  2. x üçüncü çeyrekte ⇒ sin x ve cos x negatif. Dik üçgende hipotenüs r = 5 alırsak:
    $$\sin x = -\frac{4}{5},\quad \cos x = -\frac{3}{5}.$$
  3. Yarı açı formülü:
    $$\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \tfrac{3}{5}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{2/5}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}.$$
  4. x/2 ∈ (π/2, 3π/4) ⇒ ikinci çeyrekte cos negatif ⇒
    $$\cos\frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Yarı Açı Formülleri Karşılaştırması

Özellik sin(x/2) cos(x/2)
Genel Formül \displaystyle \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \displaystyle \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}
İşaret Kuralları x/2 hangi çeyrekteyse, sin işareti oraya göre x/2 hangi çeyrekteyse, cos işareti oraya göre
Örnek (x ∈ III. çeyrek) x/2 ∈ II. çeyrek ⇒ sin(x/2) pozitif x/2 ∈ II. çeyrek ⇒ cos(x/2) negatif

Özet Tablosu

Adım İfade Sonuç
1 cot x 3/4
2 tan x = 1/(cot x) 4/3
3 sin x, cos x (x ∈ III. çeyrek) –4/5, –3/5
4 cos(x/2) = –√((1+cos x)/2) –1/√5

SSS

  1. Yarı açı formülünde işaret nasıl belirlenir?
    • x/2 açısının hangi çeyrekte olduğuna bakılır.
  2. cot ve tan arasındaki temel ilişki nedir?
    • \tan x = 1/\cot x, ikisi ters oranlıdır.
  3. Neden sin ve cos işaretlerini ikili işaret tablosuna göre seçiyoruz?
    • Çünkü hangi çeyrekte olduğumuzu bilmek, trigonometrik işaretleri netleştirir.

Anladığını pekiştirmek için yarı açı formülü içeren 3 alıştırma sorusu ister misin?
@Abdurrahman2134