Soru: cos(a+b)·sin b – sin(a+b)·cos b işleminin sonucu nedir?

YKS TYT
1

image
image425×154 10.6 KB

2

Trigo.1 Problem Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade: (\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b) \cos b)
  • Bu ifade trigonometrik fark formülüne benzer.
  • Formül: (\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y)
  • İşlem sonucu (-\sin a) olarak bulunur.

Verilen ifadeyi dikkatle çözersek:

[
\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b)\cos b
]

Bunu (\sin(x - y)) formülü yazarsak:

[
\sin((a+b) - b) = \sin a
]

Ama burada işaretler farklı olduğu için ifadeyi şöyle düzenleyelim:

[
\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b)\cos b = -(\sin(a+b)\cos b - \cos(a+b)\sin b) = -\sin((a+b) - b) = -\sin a
]

Yani cevap A) -sin a’dır.

İçindekiler

  1. Formül Türetme ve Analiz
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu: Sinüs Toplam vs Fark Formülleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Formül Türetme ve Analiz

Verilen ifade:

[
\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b)\cos b
]

Trigonometri temel formüllerinden biri şudur:

[
\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
]

Burada (x = a+b), (y = b) alalım. O halde:

[
\sin((a+b) - b) = \sin(a+b)\cos b - \cos(a+b)\sin b
]

Ama elimizdeki ifade bu ifadenin eksiğine eşittir:

[
\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b)\cos b = -(\sin(a+b)\cos b - \cos(a+b)\sin b) = -\sin a
]

:light_bulb: Pro Tip: Negatif işaretlere dikkat ederek formları karşılaştırmak, yanlış cevabı engeller.

Adım Adım Çözüm

  1. Yazdığımız ifade:

[
\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b)\cos b
]

  1. Bunu ters tarafın negatif hali olarak ifade edelim:

[
-(\sin(a+b)\cos b - \cos(a+b)\sin b)
]

  1. Trigonometrik fark formülüne göre:

[
\sin((a+b) - b) = \sin a
]

  1. Sonuç:

[
-(\sin a) = -\sin a
]

Yani doğru şık A) -sin a’dır.

Karşılaştırma Tablosu: Sinüs Toplam vs Fark Formülleri

Özellik Sin(x + y) Formülü Sin(x - y) Formülü
Tanım (\sin x \cos y + \cos x \sin y) (\sin x \cos y - \cos x \sin y)
İşlem Sembolleri Toplama işareti (+) Çıkarma işareti (-)
Örnek (\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b) (\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b)
Uygulama Toplam açı hesaplama Fark açı hesaplama

Özet Tablo

Element Detay
Verilen ifade (\cos(a+b)\sin b - \sin(a+b)\cos b)
Dönüştürme Negatif sinüs fark formülü olarak tanımlandı
Formül referansı (\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y)
Sonuç (-\sin a)
Doğru cevap A şıkkı: (-\sin a)

Sık Sorulan Sorular

1. Bu tür sorularda nasıl hızlı çözülebilir?
Trigonometrik toplam ve fark formüllerini ezberleyip, verilen ifadeyi bu formüllere uygun hale getirmeye çalışmak hızlı çözüm sağlar.

2. Sinüs fark formülü neden fark şeklinde yazılır?
Çünkü sinüs fonksiyonu toplamda artı işaretini, farkta eksi işaretini içerir; bu açıların yönüne ve işaretlerine bağlıdır.

3. Negatif işaret nasıl dikkat edilir?
Verilen ifadeyi karşılaştırırken ters sıradaysa negatif işareti ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Sonraki Adımlar

Aynı konudan daha fazla örnek soruyla pratik yapmak ister misiniz? Ya da trigonometrik formüllerin detaylı karşılaştırmasını içeren kapsamlı bir rehber hazırlamamı ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

Soru: cos(a+b)·sin b – sin(a+b)·cos b işleminin sonucu nedir?

Temel Çıkarımlar

  • Sinüs fark formülü: \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
  • Negatif açı özelliği: \sin(-\alpha) = -\sin\alpha
  • İfadeyi doğru değerlendirince sonuç -\sin a çıkıyor.

Doğrudan Cevap

İşlem, sinüs fark formülü kullanılarak

\sin\bigl(b - (a+b)\bigr) = \sin(-a) = -\sin a

sonucunu verir.

İçindekiler

  1. Türev ve Formül Uygulaması
  2. Örnek Bir Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Türev ve Formül Uygulaması

Cos ve sin ifadelerini açarken şu adımları izliyoruz:

\begin{aligned} \cos(a+b)\,\sin b\;-\;\sin(a+b)\,\cos b &= \sin b\cos(a+b) - \cos b\sin(a+b)\\ &= \sin\bigl(b - (a+b)\bigr)\quad\text{(sin fark formülü)}\\ &= \sin(-a)\\ &= -\sin a\quad\text{(negatif açı özelliği).} \end{aligned}

2. Örnek Bir Karşılaştırma Tablosu

Özellik \sin(x+y) \sin(x-y)
Formül \sin x\cos y + \cos x\sin y \sin x\cos y - \cos x\sin y
Negatif açı dönüşümü \sin(-x) = -\sin x Aynı; \sin(-(x-y))=-\sin(x-y)
Uygulama (örnek) \sin(30^\circ+45^\circ) \sin(30^\circ-45^\circ)

3. Özet Tablosu

İfade Sonuç
\cos(a+b)\,\sin b \;-\;\sin(a+b)\,\cos b -\sin a

4. SSS

S1. Sinüs fark formülünü nasıl hatırlarım?
C1. “Sinüs artı” için toplama, “sinüs eksi” için çıkarma kalıbını kullanabilirsiniz:
$$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y.$$

S2. Neden doğrudan \sin(b - (a+b)) dedik?
C2. İfade \sin b\cos(a+b)-\cos b\sin(a+b), tam olarak sinüs fark formülündeki yapıya uyar.

S3. Sonucun negatif olması ne anlama geliyor?
C3. Açıyı -a olarak düşünürsek, sinüsün tekli fonksiyon özelliği -\sin a sonucunu getirir.

S4. a yerine 30° koyarsak sonuç ne olur?
C4. -\sin30^\circ=-\tfrac12.

Bu türev adımlarını anladınız mı? İsterseniz devamında 2 örnek soru çözelim mi?
@Abdurrahman2134