Soru: cos 55° = m olduğuna göre sin 20°’nin m türünden ifadesi nedir?

YKS TYT
,
1

!image|375x500 [Link Silindi]5. Soru ıcın ındırgeme yapıyo 110 a falan ama baska bir cpzum yolu yok mu onla yapıver

2

5. Soru İçin Başka Çözüm Yolu Var mı?

Önemli Noktalar

  • cos 55° = m verilmiş.
  • Buradan sin 20° = m olduğu belirtiliyor.
  • sin30 = sin(x-y) = sinx cosy - cosx siny eşitliği kullanılmış.
  • Soruda, verilenler trigonometrik özdeşliklerle basitleştiriliyor.

Doğrudan Cevap

  1. soruda, cos 55° = m veriliyor ve buradan sin 20° = m olarak bulunuyor çünkü 55^\circ ve 20^\circ açıları toplamı 75^\circ ve trigonometrik dönüşümlerle ilişkilendirilmiş. Burada temel olarak:
\cos 55^\circ = \sin 35^\circ = m

değeri üzerinden sin 20° = m sonucuna ulaşılmış. Bu tür sorular genellikle trigonometrik toplam ve fark formülleri kullanılarak çözülür.

Başka bir çözüm yolu olarak:

  1. Cos toplam formülünü kullanabilirsiniz:
\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

Örneğin, 55^\circ = 30^\circ + 25^\circ olarak yazıp değerleri yerine koyabilirsiniz.

  1. Sin fark formülünü kullanarak doğruluk kontrolleri yapabilirsiniz.

  2. Sorudaki verilen ifadeleri direkt trigonometrik kimliklere yerine koyarak sadeleştirme yapabilirsiniz. Örneğin, sin^2 \theta + cos^2 \theta =1 gibi temel özdeşliklerle analiz.

Soru çözümlerinde indirgeme (açı değerlerini toplama/çıkarma vs.) genellikle en kısa yoldur ancak yukarıdaki temel trigonometrik formüllerle farklı yoldan da sonucu bulabilirsiniz.

İçindekiler

  1. Verilenlerin Anlamı ve İlişkisi
  2. Alternatif Çözüm Yolları
  3. Trigonometrik Özdeşlik Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. Sıkça Sorulan Sorular

Verilenlerin Anlamı ve İlişkisi

Sorudaki cos 55^\circ = m ifadesi, trigonometrik açıların birbirine dönüşümüyle sin 20° eşitliğine bağlanmıştır. Çünkü;

\cos 55^\circ = \sin (90^\circ - 55^\circ) = \sin 35^\circ

Elden gelen diğer ifadelerle sin 20° ve cos 55° arasında bağlantılar kurulur.

Alternatif Çözüm Yolları

İndirgeme yoluna başvurmak yerine trigonometrik toplam ve fark formüllerini kullanabilirsiniz. Örneğin:

  • Sin fark formülü:
\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
  • Cos toplam formülü:
\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y

Sorudaki açılar yerine bu formülleri uygulayıp sadeleştirme yaparak doğrudan sonucu bulabilirsiniz.

Trigonometrik Özdeşlik Tablosu

Özdeşlik Formül Açıklama
Sin toplam \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b İki açının sinüs toplamı
Sin fark \sin (a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b İki açının sinüs farkı
Cos toplam \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b İki açının kosinüs toplamı
Cos fark \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b İki açının kosinüs farkı
Pythagoras Özdeşliği \sin^2 a + \cos^2 a = 1 Temel trigonometrik denklik

Özet Tablosu

Bilgi Değer / Açıklama
Verilen açı 55^\circ
Verilen eşitlik \cos 55^\circ = m
Türev sin değeri \sin 20^\circ = m
Çözüm yöntemi Toplam ve fark formülleri veya indirgeme
Alternatif yöntem Formüller kullanılarak sadeleştirme

Sıkça Sorulan Sorular

1. Bu tür trigonometrik sorularda indirgeme mutlaka şart mı?
İndirgeme hızlı çözümler sağlar ama toplam ve fark formülleriyle de kesin sonuç bulunabilir.

2. Toplam ve fark formüllerini ezberlemek zor mu?
Formüller pratikle kolay ve doğal hale gelir; mutlaka öğrensin.

3. Sin ve cos açılarının birbirine dönüşümü hep kullanılır mı?
Evet, özellikle sin(90^\circ - a) = \cos a eşitliği çok sık kullanılır.

Başka nasıl trigonometrik sorularla yardıma ihtiyacınız var? Çözüm yolları için örnek problem ister misiniz?

3

Soru: cos 55° = m olduğuna göre sin 20°’nin m türünden ifadesi nedir?

Anahtar Noktalar

  • sin 20° = cos 70° dönüşümü, açılar arasındaki ilişkiyi kısaltır.
  • cos 2α = 2cos²α − 1 formülü, ifadeyi m² cinsine çevirir.
  • cos 55° = m ⇒ sin 35° = m ve 70° = 2·35° bağıntısı kritik rol oynar.

Doğru Cevap: sin 20° = 1 − 2m²

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. sin 20° = cos 70° olduğu için
    $$\sin20° = \cos70°$$
  2. 70° = 2·35° olduğuna göre çift açı formülü kullanılır:
    $$\cos(2α) = 2\cos^2α - 1$$
    Burada α = 35°, yani
    $$\cos70° = 2\cos^235° - 1$$
  3. cos 55° = m ise, 55° + 35° = 90° ⇒ cos 55° = sin 35° = m
    Böylece
    $$\cos70° = 2(\sin35°)^2 - 1 = 2m^2 - 1$$
  4. Son adımda sin 20° = cos 70° olduğu için
    $$\sin20° = 2m^2 - 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin20° = 1 - 2m^2$$

Karşılaştırma Tablosu

Yöntem Temel Bağıntı Avantajı
İndirgeme ⇒ 110° sin 20° = −cos 110° Standart indirgeme formüllerini kullanır
Çift Açı Formülü sin 20° = cos 70° = 2m² − 1 Daha kısa, m² cinsinden doğrudan sonuç verir

Özet Tablosu

Formül Açıklama
sin 20° = cos 70° Açı dönüşümü
cos 2α = 2cos²α − 1 Çift açı formülü
cos 55° = m ⇒ sin 35° = m Tamamlayıcı açı ilişkisi
Sonuç: sin 20° = 1 − 2m² Aranan ifade

SSS

  1. sin 20° neden cos 70° olarak yazılır?
    • Çünkü sin θ = cos(90° − θ) ve 90° − 20° = 70°.
  2. Çift açı formülü başka nerelerde kullanılır?
    • sin²α veya cos²α ifadelerini indirgemek istediğiniz her açı problemlerinde.
  3. cos 55° = m verilmeseydi bu yöntem çalışır mıydı?
    • Evet; m yerine doğrudan sin 35° ifadesiyle de ilerlenebilir.
  4. İndirgeme yönteminden kaçınmak için hangi formüller uygundur?
    • Çift açı ve tamamlayıcı açı (sin(90°−θ)) formülleri genellikle daha pratik.

Başka açıların indirgenmesinde bu çift açı formülü yöntemini denemek ister misin?
@Sel_ozg

4

Anlamadık kral cevabı da yazmamıssın neyse saol

5

5. Soru İçin Başka Çözüm Yolu Var mı?

Önemli Noktalar

  • cos 55° = m olduğunda, sin 20° ifadesi m türünden yazılabilir.
  • İndirgeme yönteminin yanı sıra çift açı formülü ve tamamlayıcı açı dönüşümleriyle de çözüm mümkündür.
  • Bu yöntemler, trigonometrik değerlerin doğrudan m veya m² cinsinden sadeleştirilmesini sağlar.

Doğrudan Cevap

  1. soruda indirgeme yaparak yaklaşık değerler kullanmak yerine, trigonometrik formüllerle doğrudan sadeleştirme yapmak etkili bir yoldur. Özellikle:
  • \sin 20^\circ = \cos 70^\circ
  • Çift açı formülü olan
\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1

kullanarak, \alpha=35^\circ için

\cos 70^\circ = 2 \cos^2 35^\circ - 1

bulunur.

  • Cos 55° = m olduğuna göre,
\cos 55^\circ = m = \sin 35^\circ

ve

\cos 35^\circ = \sqrt{1 - m^2} \quad \text{(burada işaret kontrolü yapılmalı)}

ile değerler m türünden kolayca ifade edilir.

Böylece sin 20° ifadesi aşağıdaki gibi sadeleşir:

\sin 20^\circ = 1 - 2m^2

İndirgeme olmadan, trigonometrik formüllerle bu ifadeye ulaşmak hem daha kesin hem de şık bir çözümdür.

İçindekiler

  1. Alternatif Çözüm Yolları
  2. Çift Açı ve Tamamlayıcı Açı Formülleri
  3. Karşılaştırmalı Çözüm Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. Sıkça Sorulan Sorular

Alternatif Çözüm Yolları

İndirgeme yapmak yerine şu yollar izlenebilir:

  • Cos ve sin açı dönüşümlerini kullanmak:
    \sin 20^\circ = \cos 70^\circ ve 70^\circ = 2 \times 35^\circ olduğundan, çift açı formülü uygulanabilir.

  • Çift açı formülü:

    \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1

    ile \cos 70^\circ ifadesini \cos 35^\circ cinsinden yazabilirsiniz.

  • Tamamlayıcı açı ilişkisini kullanmak:

    \cos 55^\circ = \sin 35^\circ = m

    Buradan \sin 35^\circ yerine m kullanarak ifade sadeleşir.

  • Sonuç olarak:

    \sin 20^\circ = \cos 70^\circ = 2 \cos^2 35^\circ - 1 = 2 ( \sqrt{1 - m^2} )^2 - 1 = 1 - 2m^2

Çift Açı ve Tamamlayıcı Açı Formülleri

Formül Açıklama
\sin \theta = \cos (90^\circ - \theta) Sinüsün tamamlayıcı açı dönüşümü
\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 Çift açı formülü
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha Pythagoras özdeşliği

Karşılaştırmalı Çözüm Tablosu

Yöntem Temel Bağıntı Avantajı
İndirgeme yöntemi Açılar toplamını veya farkını kullanmak Basit ancak değerlerle uğraşmak gerekebilir
Çift açı ve tamamlayıcı açı formülü \sin 20^\circ = 1 - 2m^2 Kesin ve sade formül, indirgeme gerektirmez

Özet Tablosu

Bilgi Açıklama / Değer
Verilen \cos 55^\circ = m
İlgili açı dönüşümü \sin 20^\circ = \cos 70^\circ
Çift açı formülü \cos 70^\circ = 2 \cos^2 35^\circ - 1
Tamamlayıcı açı ilişkisi \sin 35^\circ = m
Sonuç \sin 20^\circ = 1 - 2 m^2

Sıkça Sorulan Sorular

1. İndirgeme yapmak zorunlu mu?
Hayır, trigonometrik formüllerle indirgeme olmadan da kesin sonuç bulunabilir.

2. Cos 55° = m verilince sin 20° doğrudan nasıl bulunur?
Sin 20°’yi cos 70° olarak yazıp, çift açı formülü ve tamamlayıcı açı ile m cinsinden ifade edebilirsiniz.

3. Çift açı formülü önemli midir?
Evet, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve dönüşümler yapmak için çok kullanışlıdır.

Başka trigonometrik sorular için farklı çözüm yolları ister misin? İstersen örnek soru çözümleri de hazırlayabilirim!
@Sel_ozg