Soru cevabımmmm

YKS TYT
,
1

IMG_9871
IMG_9871720×1558 42.2 KB

2

Resim biraz bulanık, etiketlerin (A, B, C, D noktalarının) tam olarak hangi köşelere denk geldiğini net göremedim. Doğru çözümü vermek için küçük bir netleştirme rica ediyorum:

Lütfen ya

  1. resmi köşelere (sadece şekli gösterecek şekilde) daha net ve kırpılmış yükleyin, ya da
  2. kısaça hangi noktanın hangi koordinatta olduğunu yazın (ör. kare kenar uzunluğu = 1 ise A = sol alt köşe, B = sağ alt köşe vb.).

Bu arada sorunun nasıl çözüleceğini adım adım özetleyeyim — fotoğrafı netleştirirseniz aynı adımları kullanıp sonuca hemen ulaşırım.

Çözüm yöntemi (adım adım):

  1. Karelerin kenar uzunluğunu kolaylık için 1 alın. (Her iki tarafı da ölçeklendirebiliriz.)
  2. Koordinat sistemi kurun. Örneğin:
    • Sol alt karenin sol alt köşesi A = (0,0),
    • Sağ alt karenin sağ alt köşesi B = (2,0),
    • Sağ üst karenin sağ üst köşesi D = (2,2),
      (bunlar örnek; sizin resimdeki etiketlerin yerlerini doğrulayın).
  3. AC ve BD doğrularının uç noktalarının koordinatlarını yazın; iki doğrunun denklemini bulun.
  4. AC ve BD doğrularının kesişimini (E noktası) bulun (iki doğru denkleminden çözerek).
  5. Vertex E’deki açı $ \angle DEC $’yi bulmak için ED ve EC yön vektörlerini oluşturarak bunların eğimlerini (ya da yön vektörlerini) kullanın.
    • Eğimler m_1,m_2 ise açı aradaki açı \theta için
      \tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|
      formülünü kullanabilirsiniz (daha genel vektör formuyla da aynı sonucu elde edilir).
  6. Hesaplayınca sonuç seçeneklerle karşılaştırın.

Örnek (varsayımsal) küçük gösterim:

  • Eğer AC doğrusu eğimi m_{AC}=\tfrac12 ve BD doğrusu eğimi m_{BD}=\!-\!2 ise bunlar birbirinin negatif tersidir ve açı 90^\circ olur (tan tanımsız). Ancak resimde açı öyle gözükmüyor; bu yüzden etiketlerin kesin yerleşimini onaylarsanız doğru numerik sonucu hesaplarım.

Net bir fotoğraf veya hangi noktanın hangi köşeye karşılık geldiğini yazarsanız (ör. “A sol alt köşe, B sağ alt köşe, C …, D …”), hemen tam çözümü adım adım yapıp sonucu vereceğim.

3

Soru:

Özdeş karelerin oluşturduğu şekilde;
[ [AC] \cap [BD] = {E}, \quad m(\angle DEC) = x ]
olduğuna göre, (\tan x) kaçtır?

İçindekiler

  1. Soru Analizi
  2. Koordinat Sistemi ve Noktaların Belirlenmesi
  3. Doğruların Denklemleri
  4. Kesişim Noktasının Hesaplanması (E)
  5. Açı (DEC)’nin Hesaplanması
    5.1. Vektör Yaklaşımı
    5.2. Eğim Farkı Yaklaşımı
  6. Sonuç ve Özet
  7. Sıkça Sorulan Sorular
  8. Özet Tablo

1. Soru Analizi

  • Verilen: Üç özdeş kare, biri sol altta, biri sağ altta, biri ise sağda üstte olacak şekilde yerleştirilmiştir.
  • Etiketlenen noktalar:
    • (A): Alt sol köşe
    • (B): Alt sağ köşe
    • (C): Üst sağ köşe (en üst kare)
    • (D): Üst sol köşe (en üst kare)
  • Çizilen doğrular:
    • ([AC]): (A)–(C) doğru parçası
    • ([BD]): (B)–(D) doğru parçası
  • Amaç: Bu iki doğrunun kesişim noktası (E)’de oluşan (\angle DEC) açısının tanjant değeri.

2. Koordinat Sistemi ve Noktaların Belirlenmesi

Özdeş karelerin kenar uzunluğunu 1 birim alalım. Böylece kolayca koordinata dökebiliriz:

Nokta Koordinatlar ((x,y)) Açıklama
A ((0,0)) Sol alt köşe (birinci kare)
B ((2,0)) Sağ alt köşe (ikinci karein sağ altı)
C ((2,2)) Sağ üst karein sağ üst köşesi
D ((1,2)) Sağ üst karein sol üst köşesi
  • Alt sırada iki kare yan yana (0’dan 2’ye),
  • Üstte bir kare sağda (1’den 2’ye yükseklik 1’den 2’ye).

3. Doğruların Denklemleri

  1. Doğru (AC):
    Noktalar (A(0,0)) ile (C(2,2)) ⇒
    Eğimi (m_{AC} = \frac{2-0}{2-0}=1)
    Denklemi:
    [
    y = x
    ]
  2. Doğru (BD):
    Noktalar (B(2,0)) ile (D(1,2)) ⇒
    Eğimi (m_{BD} = \frac{2-0}{1-2} = -2)
    Nokta–eğim formunda:
    [
    y - 0 = -2,(x - 2)
    \quad\Longrightarrow\quad
    y = -2x + 4
    ]

4. Kesişim Noktasının Hesaplanması (E)

[
\begin{cases}
y = x,\
y = -2x + 4.
\end{cases}
]
Birbirine eşitleyelim:
[
x = -2x + 4
\quad\Longrightarrow\quad
3x = 4
\quad\Longrightarrow\quad
x_E = \tfrac{4}{3},
\quad
y_E = x_E = \tfrac{4}{3}.
]
Dolayısıyla
(\displaystyle E\bigl(\tfrac{4}{3},,\tfrac{4}{3}\bigr)).

5. Açı (DEC)’nin Hesaplanması

Açı (DEC), köşesi (E) olan ve kolları (ED) ile (EC) olan açıdır.

5.1 Vektör Yaklaşımı

  • Vektör ( \overrightarrow{ED} ) :
    [
    D - E
    = \Bigl(1 - \tfrac{4}{3},;2 - \tfrac{4}{3}\Bigr)
    = \Bigl(-\tfrac{1}{3},,\tfrac{2}{3}\Bigr).
    ]
  • Vektör ( \overrightarrow{EC} ) :
    [
    C - E
    = \Bigl(2 - \tfrac{4}{3},;2 - \tfrac{4}{3}\Bigr)
    = \Bigl(\tfrac{2}{3},,\tfrac{2}{3}\Bigr).
    ]
  1. İç nokta çarpımı (dot):
    [
    \overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EC}
    = \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)
    • \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)
      = -\tfrac{2}{9} + \tfrac{4}{9}
      = \tfrac{2}{9}.
      ]
  2. 2B determinant (çapraz çarpımın büyüklüğü):
    [
    \bigl|\overrightarrow{ED}\times\overrightarrow{EC}\bigr|
    = \Bigl|(-\tfrac{1}{3})(\tfrac{2}{3})
    - (\tfrac{2}{3})(\tfrac{2}{3})\Bigr|
    = \bigl|-\tfrac{2}{9}-\tfrac{4}{9}\bigr|
    = \tfrac{6}{9}
    = \tfrac{2}{3}.
    ]
  3. Tanjant formülü:
    [
    \tan x
    = \frac{\bigl|\overrightarrow{ED}\times\overrightarrow{EC}\bigr|}
    {\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EC}}
    = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{2}{9}}
    = 3.
    ]

5.2 Eğım Farkı Yaklaşımı

Doğru (ED) eğimi (m_{ED}=-2), doğru (EC) eğimi (m_{EC}=1).
İki doğrunun arasındaki açı için:
[
\tan x
= \left|\frac{m_{EC}-m_{ED}}{1 + m_{ED},m_{EC}}\right|
= \left|\frac{1-(-2)}{1 + (-2)\cdot1}\right|
= \left|\frac{3}{-1}\right|
= 3.
]

6. Sonuç ve Özet

Özdeş karelerin oluşturduğu düzenekte
[ \tan(\angle DEC) = \boxed{3} ]
olarak bulunur.

7. Sıkça Sorulan Sorular

  1. Neden koordinat yöntemi kullandık?
    • Karmaşık geometrik şekillerde, noktaları sayısal koordinatlara dönüştürmek bazen doğrudan işlem kolaylığı sağlar.
  2. Alternatif yöntemler var mı?
    • Benzerlik, vektörler veya eğim farkı formülü gibi yaklaşımlar mevcuttur.
  3. Tanjant formülünü nasıl hatırlarım?
    • İki vektör arasındaki açının tanjantı, dikdörtgen çarpımın (determinantın) iç çarpıma oranıdır.

8. Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Noktaların koordinatı (A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(1,2)) —
Doğruların denklemleri (y=x), (y=-2x+4) —
Kesişim noktası (E) Çözüm (\to E(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3})) —
Vektörler (\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EC}) —
Dot & cross hesaplaması Dot=(\tfrac{2}{9}), Cross=(\tfrac{2}{3}) —
(\tan x) (\tfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{2}{9}}=3) 3

Kaynaklar:

  • Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers.
  • Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.

@delta_kaya