Soru: Birim Çemberde ABO Üçgensel Bölgesinin Alanı Nasıl Hesaplanır?

YKS TYT
1

IMG-20260129-WA0007
IMG-20260129-WA0007720×960 26.6 KB

2

Soru: Birim Çemberde ABO Üçgensel Bölgesinin Alanı Nasıl Hesaplanır?

Önemli Noktalar

  • Birim çemberin yarıçapı 1’dir.
  • B noktası y ekseninde (0,1), C noktası x ekseninde (1,0) yer alır.
  • A noktası çember üzerindedir ve açısı α olarak verilmiştir.
  • Üçgenin alanı, koordinatlar kullanılarak hesaplanabilir.

Birim çemberde verilen A, B ve O noktalarının koordinatları:

  • O = (0,0)
  • B = (0,1) (y ekseni üzeri)
  • C = (1,0) (x ekseni üzeri)
  • A noktası açısı \alpha doğrultusunda, yani koordinatı (\cos \alpha, \sin \alpha) dir.

Ama soruda üçgen ABO alanı sorulmuş, yani köşeler A, B ve O.

A’nın koordinatı: (\cos \alpha, \sin \alpha)
B’nin koordinatı: (0,1)
O’nun koordinatı: (0,0)

Alan Hesaplama

Üçgenin alanı nokta koordinatları ile şöyle bulunur:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |

Burada:

  • A(x_1, y_1) = (\cos \alpha, \sin \alpha)
  • B(x_2, y_2) = (0, 1)
  • O(x_3, y_3) = (0,0)

Alan:

= \frac{1}{2} | \cos \alpha (1 - 0) + 0(0 - \sin \alpha) + 0(\sin \alpha -1) | = \frac{1}{2} | \cos \alpha |

Yani alan \frac{|\cos \alpha|}{2} olur.

Ancak seçeneklerde işaret biçimi ve sinüs çarpanları var. Soru köşegenlerden biri olarak B’nin y ekseninde, C’nin ise x ekseninde olduğu ve A’nın da bir nokta olduğu durumu tarif ediyor. Fakat seçeneğe ve sorunun anlatımına göre daha fazla işlem gerekebilir.

Doğru yaklaşımla:

Dikkat: Soru ABO üçgen alanı istemektedir, B noktası y ekseninde ve (0,1) iken A noktası açısı α ile birim çemberde, yani A=(\cos \alpha, \sin \alpha).

En doğru alan formülü yukarıdaki gibidir:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x_A y_B - y_A x_B | = \frac{1}{2} | \cos \alpha \cdot 1 - \sin \alpha \cdot 0 | = \frac{1}{2} \cos \alpha

Ama alan pozitif olduğundan \cos \alpha’nın işaretine dikkat edilmelidir.

Soru seçeneklerinden
A şıkkı: - \frac{\cos \alpha}{2}
Burada eksi işareti alanı negatif çıkarmak için konmuş olabilir, yani alan büyüklük olarak \frac{|\cos \alpha|}{2}.

Buna göre A şıkkı doğrudur.

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Noktaların Koordinatları
  2. Alan Formülünün Uygulanması
  3. Sonuç ve Şık Karşılaştırması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Soru Analizi ve Noktaların Koordinatları

Birim çemberde:

  • O orijin: (0,0)
  • B: y ekseninde bir nokta → (0,1) (çember üzeri y’nin birim olduğu noktadır)
  • C: x ekseninde bir nokta → (1,0)
  • A: açısı \alpha, yani (\cos \alpha, \sin \alpha)

:light_bulb: Pro Tip: Birim çemberde açı \alpha verilen noktanın koordinatları her zaman (\cos \alpha, \sin \alpha)'dır.

2. Alan Formülünün Uygulanması

Noktalardan üçgen alanı:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |

A, B, O noktaları için:

= \frac{1}{2} | \cos \alpha (1 - 0) + 0(0 - \sin \alpha) + 0 (\sin \alpha - 1) | = \frac{1}{2} |\cos \alpha|

Alan pozitif olmalıdır. Ancak \cos \alpha negatif ise, mutlak değeri alınmalıdır.

3. Sonuç ve Şık Karşılaştırması

Seçeneklerde bulunan ifadelerin hiçbirisinin mutlak değer içermediği için genellikle \alpha açısının konumuna bağlı negatif işaretlerle alan gösterilebilir:

  • Doğru alan: \frac{|\cos \alpha|}{2}
  • Soru için uygun cevap: Genellikle kullanılan şık A şıkkı: -\frac{\cos \alpha}{2} olacaktır.

Özet Tablo

Element Detay
Alan formülü (\frac{1}{2}
Noktalar A=(\cos \alpha, \sin \alpha), B=(0,1), O=(0,0)
Alan sonucu (\frac{
En uygun şık A) -\frac{\cos \alpha}{2}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden alan formülünde mutlak değer kullanılır?
Alan geometrik bir büyüklüktür ve her zaman pozitif veya sıfırdır. Hesaplanan değer negatif çıkarsa, bu sadece nokta sıralamasından dolayıdır, bu yüzden mutlak değer alınır.

2. α açısı hangi aralıkta olmalı?
Soruda belirtilmemiş, fakat genellikle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} gibi bir kısıtlama olabilir. Bu durumda \cos \alpha pozitiftir ve alan pozitif olur.

3. Üçgen alanını diğer yollarla nasıl hesaplayabiliriz?
Taban ve yükseklik kullanılarak veya iki vektörün çapraz çarpımı yöntemiyle de hesaplanabilir.

Sonraki Adımlar

Bu konuda trigonometrik alan hesaplama ile ilgileniyorsanız, bir sonraki adımda sinüs yasasını kullanarak farklı üçgenlerin alanlarını hesaplama veya birim çemberde farklı açılar için koordinat bulma konularını öğrenmek ister misiniz?

@Meral_Bektas

3

ABO üçgensel bölgesinin alanı nedir?

• OA = OB = 1 (birim çember)
• m(AOC) = α, B noktasının açısı = 90°, A noktasının açısı = α (α > 90°)
• Üçgen alanı: A_{\triangle} = \tfrac12\,ab\,\sin\theta

Üçgen $ABO$’nun alanı

A_{ABO} = -\frac{\cos\alpha}{2}.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Birim çemberde merkez O,

    • C=(1,0) noktasının açısı 0°,
    • B=(0,1) noktasının açısı 90°,
    • A=(\cos\alpha,\sin\alpha) noktasının açısı \alpha (şekilde \alpha>90°).

  2. Üçgen $ABO$’da

    • Kenarlar OA=OB=1,
    • Aradaki iç açı
      \angle AOB = |\alpha - 90°| = \alpha - 90°\quad(\alpha>90°).

  3. Alan formülü:

    A_{ABO} = \frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\bigl(\angle AOB\bigr) = \frac12\cdot1\cdot1\cdot\sin(\alpha-90°) = \frac12\bigl(-\cos\alpha\bigr) = -\frac{\cos\alpha}{2}.

Özet Tablosu

Bileşen Değer/Formül
OA, OB 1
\angle AOB \alpha - 90° (α > 90°)
\sin(\alpha-90°) -\cos\alpha
A_{ABO} -\frac{\cos\alpha}{2}

SSS

  1. Üçgen alan formülü nedir?
    Cevap: A=\tfrac12ab\sin\theta.

  2. B noktasının açısı kaç derecedir?
    Cevap: B noktasının açısı sabit olarak $90°$’dir.

  3. m(AOC) = α hangi aralıkta ele alınır?
    Cevap: Şekilde \alpha>90° (ikinci bölge).

  4. Sonuç pozitif çıkıyor mu?
    Cevap: \cos\alpha<0 olduğundan -\cos\alpha/2>0 olur.

Üçgen alanı ile ilgili 3 uygulama problemi ister misiniz?
@Meral_Bektas