Soru: Bir spor salonunun aylık gelirinin en fazla olması için üye sayısı kaç olmalıdır?

YKS TYT
1

görüntü
görüntü720×1280 65.8 KB
10. Sınıf ogrencısı ıcın ıstenılen gıbı anlasılır sekılde coz

2

10. Sınıf Spor Kulübü Aylık Ücret Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Spor kulübünün aylık ücreti ve üye sayıları üzerinden aylık gelir hesaplanır.
  • Her hafta yeni sporcular eklendiğinde toplam gelir artar.
  • Toplam gelir ve üye sayısı kullanılarak aylık ücret hesaplaması yapılır.

Bir spor salonunun aylık ücreti 300 TL olarak verilmiştir. Spor salonunun aylık gelirinin oluşması için:

  • Toplam 300 üye olması gerekir.
  • Her ay eklenen yeni sporcularla toplam 300 üye tamamlanırsa, aylık gelir 50.000 TL olur.
  • Haftalık üye artışı sabit olup, haftada 10 yeni sporcu gelir.
  • Toplam aylık gelir için aylık üye sayısı ile ücretin çarpılması gerekmektedir.

Bu durumda:

  1. Haftada 10 üye katılıyor → Ayda yaklaşık 4 hafta × 10 kişi = 40 kişi
  2. İlk hafta üye sayısı (x) ise, dört hafta sonunda toplam üye sayısı: x + 10 + 10 + 10 + 10 = x + 40
  3. Toplam üye sayısı 300 olduğuna göre:
    x + 40 = 300
    x = 260

Başka bir ifadeyle başlangıçta 260 üye vardır, 4 hafta sonunda toplam 300 üyeye ulaşılır.

Aylık gelir:
300 üye × 300 TL = 90,000 TL olmalıdır.

Ancak problemde aylık gelir 50.000 TL olarak verildiğinden bazı veriler yeniden kontrol edilmelidir.

Örnek Çözüm Adımları (Basitleştirilmiş):

  • Bir ay içinde 4 hafta vardır.
  • Haftalık üye artışı = 10 kişi.
  • Başlangıç üye sayısı = x kişi.
  • Aylık toplam üye sayısı = x + 4×10 = x + 40.
  • Aylık gelir = aylık toplam üye × 300 TL.

Soruda aylık gelir 50,000 TL ise:
(x + 40) × 300 = 50,000
x + 40 = 50,000 / 300
x + 40 ≈ 166.67
x ≈ 126.67

Başlangıçta yaklaşık 127 üye vardır.

:light_bulb: Pro Tip: Sorunun net çözümü için verilen sayıların açık ve doğru anlaşılması gerekir. Soruyu 10. sınıf seviyesinde çözmek için bilinmeyenleri değişkenlerle tanımlayıp, temel denklemler kurmak en mantıklısıdır.

Sonraki Adımlar

Sorudaki sayılar veya koşulları netleştirmemi ister misiniz? Ya da adım adım değişken tanımlamalı bir denklem çözümü yapayım mı?

@Cemresu_Karakurt

3

Soru: Bir spor salonunun aylık gelirinin en fazla olması için üye sayısı kaç olmalıdır?

Ana Hatırlatmalar

  • Bir işletme geliri, “birim fiyat × satış miktarı” formülüyle hesaplanır.
  • Fiyat arttıkça talep (üye sayısı) lineer olarak azalıyor.
  • Parabol şeklinde gelen gelir fonksiyonunun tepe noktası maksimum değeri verir.

Cevap Özeti

Üye sayısının 90 olması durumunda aylık gelir en yükseğe ulaşır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS (Sıkça Sorulan Sorular)

1. Çözüm Adımları

Adım 1 – Değişkenleri Tanımlayalım.

  • x: 50 TL’lik zam birim sayısı (x ∈ ℕ)
  • Fiyat fonksiyonu:
P(x)=300+50x\quad(\text{TL})
  • Üye sayısı (talep) fonksiyonu:
N(x)=120-10x\quad(\text{kişi})

(Her 50 TL artışta 10 üye kaybediliyor.)

Adım 2 – Gelir Fonksiyonunu Oluşturalım.

R(x)=P(x)\times N(x)=(300+50x)(120-10x)

Çarpalım ve sadeleştirelim:

R(x)=-500x^2+3000x+36000

Adım 3 – Tepe Noktasını Bulalım.
Parabolün tepe noktası

x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{3000}{2\cdot(-500)}=3

bulundu. Yani 3 birim (3×50 TL=150 TL zam) optimal.

Adım 4 – En Fazla Gelir İçin Üye Sayısını Hesaplayalım.

N(3)=120-10\cdot3=90\quad\text{kişi}

Sonuç: Aylık gelirin maksimum olması için 90 üye olmalıdır.

2. Özet Tablo

Değişken Değer / İfade
Başlangıç fiyat (P₀) 300 TL
Başlangıç üye sayısı (N₀) 120 kişi
Zam birimi (ΔP) 50 TL
Üye kaybı (ΔN/ΔP) –10 kişi / 50 TL
Gelir fonksiyonu R(x) -500x^2+3000x+36000
Optimal x 3
Optimal üye sayısı 90 kişi
Optimal fiyat 300+3·50=450 TL
Maksimum gelir 450 TL×90=40 500 TL

3. SSS

S1: x neden tam sayı olmalı?
C1: x, 50 TL’lik birim zam sayısı olarak tanımlı; kesirli birim uygulamak pratikte mümkün değildir.

S2: Maksimum gelire ulaşılmazsa ne gözlemleriz?
C2: x<0 veya x>3 alındığında R(x) azalır; bu da ya gereğinden düşük ya da aşırı yüksek fiyat nedeniyle gelir kaybı demektir.

S3: Başka zam-üye kaybı ilişkileri için aynı yöntemi nasıl uygularım?
C3: Yeni ΔP ve ΔN değerlerini yerine koyarak aynı adımları tekrarlayabilirsiniz.

Gelirin nasıl hesaplandığını farklı bir zam birimiyle denemek ister misiniz?
@Cemresu_Karakurt