Soru: Bir cisim, şekildeki sürtünmesiz yatay zemin üzerinde A(−5 m) ve B(+5 m) noktaları arasında T=2 s periyotta basit harmonik hareket yapmaktadır. 3∣AK∣=2∣KO∣ olduğuna göre, cismin K noktasındaki hızı kaç m/s’dir? (π=3)

YKS TYT
1

IMG_1402
IMG_1402720×540 36 KB

2

Soru Restatementı (Kullanıcının Dilinde)

Sürtünmesiz yatay zemin üzerinde A(-5 m) ile B(+5 m) arasındaki doğrusal yörüngede T = 2 s periyotla basit harmonik hareket yapan bir cismin K noktasındaki hızını bulunuz. AK = 2k ve KO = 3k olduğuna göre cismin K’daki hızı kaç m/s’dir? (π = 3 kullanılmıştır)

Önemli Noktalar

  • SHM’de maksimum hız, merkezi konumda (O) olur; hız büyüklüğü formülü: v = ω sqrt(A^2 − x^2) şeklinde hesaplanır.
  • Amplitüd (A) = mesafe merkezden uç noktaya olan uzaklıktır. Bu durumda A = 5 m.
  • Verilen AK = 2k, KO = 3k ve AO = 5 m olduğuna göre k = 1 m. Dolayısıyla K noktası x_K = −3 m.
  • Periyot T = 2 s olduğundan açısal frekans ω = 2π / T = π rad/s.

Bu durumda K noktasındaki hızın büyüklüğü (yön belirlemez): v = ω sqrt(A^2 − x_K^2) = π sqrt(25 − 9) = π × 4 = 4π ≈ 12.57 m/s.

İçindekiler

  1. SHM Parametreleri ve Veriler
  2. Hızın Hesaplanması
  3. Sonuçlar & Özeti
  4. Sık Sorulan Sorular

SHM Velocity Parametreleri

  • Amplitüd: A = 5 m (merkezden uç noktaya mesafe)
  • K noktası koordinatı: x_K = −3 m (AO = 5 m, AK = 2k, KO = 3k ⇒ k = 1 m)
  • Açısal frekans: ω = 2π/T = π rad/s (T = 2 s)
  • Hız formülü: v = ω sqrt(A^2 − x^2)

Kısaca hesap: v = π sqrt(5^2 − (−3)^2) = π sqrt(25 − 9) = π × 4 = 4π ≈ 12.57 m/s.

Pro Tip: Yön değişimini hesaba katmak için faz bilgisine ihtiyaç vardır; ancak hızın büyüklüğü bu hesapla sabittir.

Hızın Hesaplanması

  1. AO = 5 m olduğundan A = 5 m ve x_K = −3 m bulunur.
  2. T = 2 s olduğundan ω = 2π/T = π rad/s olur.
  3. Hız büyüklüğü: v = ω sqrt(A^2 − x_K^2) = π sqrt(25 − 9) = 4π ≈ 12.57 m/s.

Not: Eğer faz bilgisi verilseydi yön de belirlenebilirdi; bu durumda hızın işareti değişebilirdi, fakat büyüklük sabittir.

Özet Tablo

Unvan Değer
Amplitüd (A) 5 m
K noktası (x_K) −3 m
Açısal frekans (ω) π rad/s
Hız büyüklüğü (v) 4π ≈ 12.57 m/s

Sık Sorulan Sorular

  1. Neden hız büyüklüğü v = ω sqrt(A^2 − x^2) ile hesaplanır?
  • Çünkü x = A cos(ωt + φ) için dx/dt = −Aω sin(ωt + φ) ve sin^2 + cos^2 = 1 olduğundan v^2 = ω^2(A^2 − x^2) elde edilir.
  1. Eğer K noktası başka bir konumda olsaydı sonuç nasıl değişirdi?
  • Hızın büyüklüğü v = ω sqrt(A^2 − x^2) bağıntısına bağlı olarak x değiştikçe değişir; x karedeki fark büyüdükçe hız küçülür. Bu yüzden merkeze yakın noktalar daha hızlı, uç noktalara yakınlar ise daha yavaş hareket eder.
  1. Bu tür sorularda hangi adımı kontrol etmek gerekir?
  • Verilen T ve AO’dan A ve ω’yı, verilen AK ve KO’dan K’nın konumunu bulun; ardından v = ω sqrt(A^2 − x^2) formülünü kullanın ve sonuçta hızın yönü için faz bilgisini kontrol edin.

Bu tip sorularla benzer başka konumlarda da hesaplama yapmak ister misiniz? @Atesiya

3

Soru: Bir cisim, şekildeki sürtünmesiz yatay zemin üzerinde A(−5 m) ve B(+5 m) noktaları arasında T=2 s periyotta basit harmonik hareket yapmaktadır. 3∣AK∣=2∣KO∣ olduğuna göre, cismin K noktasındaki hızı kaç m/s’dir? (π=3)

Önemli Noktalar

  • Cisim T=2 s periyodla basit harmonik hareket yapar.
  • Uç noktalar A(–5 m) ve B(+5 m); genlik A=5 m.
  • 3|AK|=2|KO| → K noktasının konumu (x_K=-3) m.

Cismin K noktasındaki hızı 12 m/s’dir.

İçindekiler

  1. Şekil ve Veriler
  2. K Noktasının Konumunun Bulunması
  3. Hız Formülünün Uygulanması
  4. Sonuç
  5. Hız Karşılaştırma Tablosu
  6. Özet Tablosu
  7. Sıkça Sorulan Sorular

1. Şekil ve Veriler

Cisim, merkez nokta O’dan genlik A=5 m uzaklıkta, A(–5 m) ile B(+5 m) arasında salınım yapar.

  • Periyot: (T=2) s
  • Açı frekansı:
    $$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi;\text{rad/s}$$
    (π=3 alınmıştır.)

2. K Noktasının Konumunun Bulunması

A noktası –5 m, O noktası 0 m olduğuna göre K’nın x koordinatını bulmak için:
3|AK| = 2|KO|
(;3(x+5)=2(-x);\Rightarrow;5x=-15;\Rightarrow;x_K=-3) m

3. Hız Formülünün Uygulanması

Basit harmonikte hız denklemi:

v(x)=\omega\sqrt{A^2 - x^2}.

K noktasında (x=-3) m, (A=5) m, (\omega=\pi=3) rad/s olduğunda:

v_K =3\sqrt{5^2 - 3^2} =3\sqrt{25 - 9} =3\sqrt{16} =3\times4 =12\;\text{m/s}.

4. Sonuç

Cismin K noktasındaki hızı 12 m/s’dir.

5. Hız Karşılaştırma Tablosu

Konum (x) (m) Hız (v) (m/s)
Uç nokta (A,B) ±5 (v=0)
K noktası –3 (v=12)
Merkez (O) 0 (v_{\max}=\omega A=3\times5=15)

6. Özet Tablosu

Büyüklük Değer
Periyot (T) 2 s
Açı frekansı (\omega) (\pi=3) rad/s
Genlik (A) 5 m
K konumu (x_K) –3 m
Hız (v_K) 12 m/s

7. Sıkça Sorulan Sorular

  1. SHM’de maksimum hız hangi noktada gerçekleşir?
    – Merkezde (\displaystyle v_{\max}=\omega A).
  2. Bir noktadaki hız nasıl hesaplanır?
    – (v(x)=\omega\sqrt{A^2 - x^2}).
  3. Genlik nedir?
    – Cismin denge konumundan en uzak mesafesidir.
  4. Açı frekansı nasıl bulunur?
    – (\omega=2\pi/T).

Bu konuyla ilgili benzer 3 alıştırma sorusu ister misiniz?
@Aysi