Soru: Aşağıdaki ifadenin değeri nedir?

YKS TYT
1

1769618490945475791987294880673
1769618490945475791987294880673720×960 19.7 KB

2

Karekök İfade Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Karekök ifadelerde payda paydası eşitleyerek veya rasyonelleştirerek ifadeler sadeleştirilir
  • Kareköklerin toplam ve farkı işlemlerinin doğru yapılması gerekir
  • Rasyonelleştirme, paydanın karekökten kurtarılması için yapılan yaygın bir adımdır

Verilen ifade:

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{3}

Burada amaç, payda kısmındaki \sqrt{2} - 1 ifadesini rasyonelleştirip sadeleştirmek ve sonucu basitleştirmektir.

Adım 1: Paydanın rasyonelleştirilmesi

Payda \sqrt{2} - 1 olduğundan, payda ile eşlenik ifade \sqrt{2} + 1 ile çarpılır:

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}

Payda, farkın karesi formu:

(\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1

Adım 2: Payın açılımı

Payda bir olduğuna göre sadece payı açalım:

(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + 1) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{6} \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1

Hesaplayalım:

  • \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}
  • \sqrt{6} \cdot 1 = \sqrt{6}
  • -\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{6}
  • -\sqrt{3} \cdot 1 = -\sqrt{3}

Bunları toplayalım:

2 \sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + (\sqrt{6} - \sqrt{6}) = \sqrt{3}

Adım 3: İfadeyi yerine koyma

Böylece;

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{3}

İfadeye geri dönersek:

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Payda rasyonelleştirme Çarpan: \sqrt{2}+1 Payda = 1
Pay açılımı (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+1) \sqrt{3}
İfade = pay/payda - \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} 0

Sık Sorulan Sorular

1. Rasyonelleştirme nedir?
Bir ifadenin paydasında karekök varsa, payda eşlenik ifadeyle çarpılarak kökten kurtulma işlemidir.

2. Kareköklerin çarpımında nasıl işlem yapılır?
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} olarak dikkate alınır.

3. Bu işlem her zaman sonucu sıfır mı yapar?
Hayır, verilen ifadeye özel bir durumdur. Genel olarak ifadeyi sadeleştirmek için kullanılır.

Bu tür köklü ifadeleri çözmek için isterseniz benzer yöntemlerin formüllerini ve örnek sorularını da detaylı inceleyebilirim. İsterseniz benzer sorularla pratik yapmak ister misiniz?

@Halime7

3

Soru: Aşağıdaki ifadenin değeri nedir?

\frac{\sqrt6 - \sqrt3}{\sqrt2 - 1} - \sqrt3

Temel Çıkarımlar

  • Rasyonelleştirme: Kök içeren payda ifadelerini paya çekerek sadeleştirme
  • Faktörleme: \sqrt6-\sqrt3=\sqrt3(\sqrt2-1) kullanımı
  • Sadeleştirme: Ortak çarpanı iptal etme

Doğrudan Cevap

İfade 0’a eşittir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Verilen ifadeyi yazalım:
    \frac{\sqrt6 - \sqrt3}{\sqrt2 - 1} - \sqrt3
  2. Faktörleme yapalım:
    \sqrt6 - \sqrt3 = \sqrt3(\sqrt2 - 1)
  3. Payda ile payı sadeleştirelim:
    \frac{\sqrt3(\sqrt2 - 1)}{\sqrt2 - 1} - \sqrt3 = \sqrt3 - \sqrt3
  4. Sadeleştirme sonucu:
    \sqrt3 - \sqrt3 = 0

Karşılaştırma Tablosu

İşlem Türü Amaç Örnek
Radikal İfadelerin Sadeleştirilmesi Kök içinden dışarı çarpanları çıkarmak \sqrt8=2\sqrt2
Radikal İfadelerin Rasyonelleştirilmesi Paydadaki kökleri paya çekip iptal etmek \frac{1}{\sqrt2+1}(\sqrt2-1)=\sqrt2-1

Özet Tablosu

Adım İşlem
Faktörleme \sqrt6-\sqrt3=\sqrt3(\sqrt2-1)
Payda Sadeleştirme \frac{\sqrt3(\sqrt2-1)}{\sqrt2-1}=\sqrt3
Sonuç Sadeleştirme \sqrt3-\sqrt3=0

SSS

  1. Rasyonelleştirme nedir?
    Paydadaki kökleri iptal edilebilir hale getirme işlemidir.
  2. Neden kök ifadeler rasyonelleştirilir?
    Matematiksel işlemlerde standart form ve daha kolay sadeleştirme için.
  3. Tüm kök derecelerinde rasyonelleştirme yapılır mı?
    Evet, hem karekök hem de daha yüksek dereceli köklerde aynı prensip geçerlidir.
  4. Faktörleme her zaman işe yarar mı?
    Paydaki ve paydaki ifadede ortak çarpan varsa mutlaka faydalıdır.

Benzer bir örnekle rasyonelleştirme pratiği yapmak ister misiniz?
@Halime7