Örnek-ÖDEV Aşağıda 6 öğrencinin performansına ilişkin iki farklı hakem tarafindan verilen siralamalar yer almaktadır: Öğrenci 2 Hakem A (Sıra) Hakem B (Sra) 2 3 4 4 6 5 6
!Resim [Link Silindi]
CEVAP:
Verilen 6 öğrencinin sıralamaları üzerinden iki hakemin sıralamaları arasındaki ilişkiyi incelemek için Spearman sıra korelasyon katsayısı hesaplanabilir. Spearman sıra korelasyonu, iki sıralama arasındaki ilişkinin gücünü ölçen ve -1 ile +1 arasında değer alan bir istatistiktir.
Yapılması gerekenler:
- Hakem A ve Hakem B’nin verdiği sıralama farkları hesaplanır.
- Bu farkların karesi alınır.
- Spearman korelasyon katsayısı formülü uygulanır:
\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 -1)}
Burada d_i her öğrenci için iki hakemin sıralama farkı; n ise öğrenci sayısıdır (bu örnekte 6).
Eğer istersen, adım adım hesaplama yapabiliriz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Aşağıdaki 6 öğrencinin iki hakem tarafından verilen sıralamalarına göre sıra korelasyonlarını hesaplayın.
(Hakem A sıraları: 1,2,3,4,5,6; Hakem B sıraları: 2,1,4,3,6,5)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Spearman sıra korelasyonu: \displaystyle \rho = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}
Kendall tau: \displaystyle \tau = \frac{C-D}{\binom{n}{2}} = \frac{C-D}{n(n-1)/2}
(Burada d_i her öğrenci için iki hakemin sıra farkı, C uyumlu çift sayısı, D uyumsuz çift sayısıdır.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilerin düzenlenmesi ve farkların bulunması
Öğrenci 1: Hakem A = 1, Hakem B = 2, d_1 = 1-2 = -1, d_1^2 = (-1)^2 = 1
Öğrenci 2: Hakem A = 2, Hakem B = 1, d_2 = 2-1 = 1, d_2^2 = 1^2 = 1
Öğrenci 3: Hakem A = 3, Hakem B = 4, d_3 = 3-4 = -1, d_3^2 = (-1)^2 = 1
Öğrenci 4: Hakem A = 4, Hakem B = 3, d_4 = 4-3 = 1, d_4^2 = 1^2 = 1
Öğrenci 5: Hakem A = 5, Hakem B = 6, d_5 = 5-6 = -1, d_5^2 = (-1)^2 = 1
Öğrenci 6: Hakem A = 6, Hakem B = 5, d_6 = 6-5 = 1, d_6^2 = 1^2 = 1
Toplam \displaystyle \sum d_i^2 = 1+1+1+1+1+1 = 6.
Burada n=6.
Adım 2 — Spearman sıra korelasyonunun hesaplanması
\displaystyle \rho = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}
\displaystyle \rho = 1 - \frac{6 \times 6}{6\,(6^2-1)}
\displaystyle 6^2-1 = 36-1 = 35
\displaystyle n(n^2-1)=6\times 35 = 210
\displaystyle \rho = 1 - \frac{36}{210}
\displaystyle \frac{36}{210} = 0.1714285714
\displaystyle \rho = 1 - 0.1714285714 = 0.8285714286 \approx 0.829
Adım 3 — Kendall tau hesaplaması (isteğe bağlı, karşılaştırma için)
Toplam çift sayısı \displaystyle \binom{6}{2} = \frac{6\cdot5}{2} = 15.
Uyumsuz (discordant) çiftler: (1,2), (3,4), (5,6) → D = 3.
Dolayısıyla uyumlu çiftler C = 15 - 3 = 12.
\displaystyle \tau = \frac{C-D}{15} = \frac{12-3}{15} = \frac{9}{15} = 0.6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Spearman sıra korelasyonu
- Tanım: İki sıralama arasındaki monoton ilişkiyi ölçer; -1 ile +1 arasında değer alır.
- Bu problemde: Sıra farklarının kareleri kullanılarak hesaplandı.
- Kendall tau
- Tanım: Tüm öğe çiftleri için uyumlu ve uyumsuz çiftleri sayarak sıralamalar arasındaki tutarlılığı ölçer.
- Bu problemde: 15 çiftten 12’si uyumlu, 3’ü uyumsuz bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Karelerin toplanmaması
- Yanlış: d_i değerlerinin karelerini almadan toplamayı unutmak.
- Doğru: Her d_i için d_i^2 hesaplanmalı ve bu karelerin toplamı formülde kullanılmalıdır.
- Neden yanlış: Spearman formülü kareler toplamına dayanır; kare alınmazsa sonuç hatalı olur.
- Düzeltme: Her farkı kareleyip topla.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Spearman \rho \approx 0.829; Kendall \tau = 0.6
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
@uzman_bot adım adım hesaplama yap
SORU: Aşağıdaki 6 öğrencinin iki hakem tarafından verilen sıralamalarına göre sıra korelasyonlarını hesaplayın. (Hakem A: 1,2,3,4,5,6; Hakem B: 2,1,4,3,6,5)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Spearman sıra korelasyonu: \displaystyle \rho = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}
Kendall tau: \displaystyle \tau = \frac{C-D}{\binom{n}{2}} = \frac{C-D}{\frac{n(n-1)}{2}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilerin düzenlenmesi ve farkların bulunması
Öğrenci 1: Hakem A = 1, Hakem B = 2, d_1 = 1-2 = -1, d_1^2 = (-1)^2 = 1
Öğrenci 2: Hakem A = 2, Hakem B = 1, d_2 = 2-1 = 1, d_2^2 = 1^2 = 1
Öğrenci 3: Hakem A = 3, Hakem B = 4, d_3 = 3-4 = -1, d_3^2 = (-1)^2 = 1
Öğrenci 4: Hakem A = 4, Hakem B = 3, d_4 = 4-3 = 1, d_4^2 = 1^2 = 1
Öğrenci 5: Hakem A = 5, Hakem B = 6, d_5 = 5-6 = -1, d_5^2 = (-1)^2 = 1
Öğrenci 6: Hakem A = 6, Hakem B = 5, d_6 = 6-5 = 1, d_6^2 = 1^2 = 1
Adım 2 — Karelerin toplamı ve n değeri
\displaystyle \sum d_i^2 = 1+1+1+1+1+1 = 6
\displaystyle n = 6
Adım 3 — Spearman sıra korelasyonunun hesaplanması
\displaystyle \rho = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}
\displaystyle \rho = 1 - \frac{6 \times 6}{6\times(6^2-1)}
\displaystyle 6^2-1 = 36-1 = 35
\displaystyle n(n^2-1) = 6 \times 35 = 210
\displaystyle \rho = 1 - \frac{36}{210}
\displaystyle \frac{36}{210} = \frac{6}{35} \approx 0.1714285714
\displaystyle \rho = 1 - 0.1714285714 \approx 0.8285714286
Adım 4 — Kendall tau için uyumlu (concordant) ve uyumsuz (discordant) çiftlerin sayılması
Tüm çift sayısı: \displaystyle \binom{6}{2} = \frac{6\cdot5}{2} = 15
Çiftleri inceleyerek uyumsuz olanları tespit edelim (A sıralaması ile B sıralamasının göreli yönü farklı olanlar):
- Çift (1,2): A’da 1<2, B’de 2>1 → uyumsuz
- Çift (1,3): A’da 1<3, B’de 2<4 → uyumlu
- Çift (1,4): A’da 1<4, B’de 2<3 → uyumlu
- Çift (1,5): A’da 1<5, B’de 2<6 → uyumlu
- Çift (1,6): A’da 1<6, B’de 2<5 → uyumlu
- Çift (2,3): A’da 2<3, B’de 1<4 → uyumlu
- Çift (2,4): A’da 2<4, B’de 1<3 → uyumlu
- Çift (2,5): A’da 2<5, B’de 1<6 → uyumlu
- Çift (2,6): A’da 2<6, B’de 1<5 → uyumlu
- Çift (3,4): A’da 3<4, B’de 4>3 → uyumsuz
- Çift (3,5): A’da 3<5, B’de 4<6 → uyumlu
- Çift (3,6): A’da 3<6, B’de 4<5 → uyumlu
- Çift (4,5): A’da 4<5, B’de 3<6 → uyumlu
- Çift (4,6): A’da 4<6, B’de 3<5 → uyumlu
- Çift (5,6): A’da 5<6, B’de 6>5 → uyumsuz
Uyumsuz çiftler: (1,2), (3,4), (5,6) → \displaystyle D = 3
Uyumlu çiftler: \displaystyle C = 15 - 3 = 12
Adım 5 — Kendall tau hesaplaması
\displaystyle \tau = \frac{C-D}{\binom{n}{2}} = \frac{12-3}{15} = \frac{9}{15} = 0.6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: *Spearman \rho \approx 0.8286; Kendall (\tau = 0.6*
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?