Soru: Aşağıda fonksiyonların artan/azalan, yukarı/aşağı konkav olduğu noktaları belirtin ve grafiklerini çizin

Elif_Ozbek1 · Ocak 19, 2026, 7:17ös

!IMG_7554|690x171 [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Ocak 19, 2026, 7:17ös

Soruları yapppppp - Fonksiyonların Artan/Azalan ve Konkavlık Noktalarının Belirlenmesi

Önemli Noktalar

Fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türev (y') alınır ve işaret incelenir.
Yukarı/aşağı konkav olduğu bölgeleri bulmak için ikinci türev (y'') hesaplanır ve işaret analizi yapılır.
Kritik noktalar türevlerin 0 olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır.
Bu noktalar fonksiyonun artış/düşüş ve konkavlık değişimini belirler.
Grafik çiziminde bu kritik noktalar ve fonksiyonun tanımlı olduğu alanlar dikkate alınır.

Fonksiyon a’nın Analizi: y = \frac{2}{2x-3}

Birinci türev:

y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{2x-3}\right) = -\frac{4}{(2x-3)^2}

Burada y' < 0 her zaman (pay negatif, payda pozitif çünkü kare alınmış), yani fonksiyon her zaman azalan.
İkinci türev:

y'' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{4}{(2x-3)^2}\right) = \frac{16}{(2x-3)^3}

Payda işareti 2x-3’e bağlıdır:
- x > \frac{3}{2} ise, $(2x-3)^3 > 0 \Rightarrow y’’ > 0) → yukarı konkav
- x < \frac{3}{2} ise, $(2x-3)^3 < 0 \Rightarrow y’’ < 0) → aşağı konkav
Tanımsız noktalar: x = \frac{3}{2} fonksiyonun tanımsız noktasıdır ve burada dikey asimptot vardır.
Sonuç:
- Azalan her yerde,
- x < \frac{3}{2} aralığında aşağı konkav,
- x > \frac{3}{2} aralığında yukarı konkav.

Fonksiyon b’nin Analizi: y = \frac{x}{x-1}

Birinci türev:

y' = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}

Burada y' < 0 her zaman, yani fonksiyon tüm tanım aralığında azalan.
İkinci türev:

y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{-1}{(x-1)^2}\right) = \frac{2}{(x-1)^3}

İşaret kontrolü:
- x > 1: y'' > 0 → yukarı konkav
- x < 1: y'' < 0 → aşağı konkav
Tanımsız noktalar: x=1 fonksiyonun tanımsız olduğu dikey asimptot noktasıdır.
Sonuç:
- Fonksiyon tüm tanımda azalan,
- x < 1 aralığında aşağı konkav,
- x >1 aralığında yukarı konkav.

Fonksiyon c’nin Analizi: y = x^3 + 3x^2 - 24x

Birinci türev:

y' = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x^2 + 2x - 8)

Kökler:

x^2 + 2x -8=0 \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}

x_1 = 2, \quad x_2 = -4
Artan/azalan aralıkları:
Test noktaları ile inceleyelim:
- x < -4, y'>0 → artan
- -4 < x < 2, y'<0 → azalan
- x > 2, y'>0 → artan
İkinci türev:

y'' = 6x + 6

Nokta: y''=0 \Rightarrow x=-1
Konkavlık:
- x < -1, y''<0 → aşağı konkav
- x > -1, y''>0 → yukarı konkav
Özet:
- Artan: (-\infty, -4) \cup (2, \infty)
- Azalan: (-4, 2)
- Aşağı konkav: (-\infty, -1)
- Yukarı konkav: (-1, \infty)

Fonksiyon d’nin Analizi: y = 5x - 2x^2

Birinci türev:

y' = 5 - 4x

Kök:

y' = 0 \Rightarrow 5 - 4x=0 \Rightarrow x = \frac{5}{4} = 1.25
Artan/azalan aralıkları:
- x < 1.25, y'>0 → artan
- x > 1.25, y'<0 → azalan
İkinci türev:

y'' = -4

Sabit negatif → her yerde aşağı konkav.
Özet:
- Artan: (-\infty, 1.25)
- Azalan: (1.25, \infty)
- Konkav: aşağı konkav tüm tanımda

Fonksiyon e’nin Analizi: y = \frac{1+x}{1-x}

Birinci türev:

y' = \frac{(1-x) \cdot 1 - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1 - x +1 + x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}

Pozitif, fonksiyon tüm tanımda artan.
İkinci türev:

y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{(1-x)^2} \right) = 2 \cdot \frac{d}{dx} (1-x)^{-2} = 2 \cdot (-2)(1-x)^{-3} \cdot (-1) = \frac{4}{(1-x)^3}
İşaret analizi:
- x < 1, payda pozitif, y'' > 0 → yukarı konkav
- x > 1, payda negatif, y'' < 0 → aşağı konkav
Tanımsız nokta: x=1
Özet:
- Artan her yerde,
- x < 1 yukarı konkav,
- x > 1 aşağı konkav.

Özet Tablo

Fonksiyon	Artan Aralık	Azalan Aralık	Yukarı Konkav	Aşağı Konkav	Tanımsız Nokta
\frac{2}{2x-3}	Yok	\mathbb{R} \setminus \{ \frac{3}{2} \}	x > \frac{3}{2}	x < \frac{3}{2}	x = \frac{3}{2}
\frac{x}{x-1}	Yok	\mathbb{R} \setminus \{1\}	x > 1	x < 1	x=1
x^3 + 3x^2 - 24x	(-\infty, -4) \cup (2, \infty)	(-4, 2)	(-1, \infty)	(-\infty, -1)	Yok
5x - 2x^2	(-\infty, 1.25)	(1.25, \infty)	Yok	\mathbb{R}	Yok
\frac{1+x}{1-x}	\mathbb{R} \setminus \{ 1 \}	Yok	x < 1	x > 1	x=1

Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonun artan ya da azalan olması ne demek?
Bir fonksiyonun artan olması, x değeri arttıkça fonksiyon değerinin de artmasıdır. Azalan ise x arttıkça fonksiyonun azaldığı durumdur. Bunlar türev imzası ile belirlenir.

2. Konkavlık neden önemli?
Konkavlık, fonksiyonun grafiğinin şeklinin (kavisin) yukarı mı yoksa aşağı mı dönük olduğunu gösterir. Maksimum veya minimum noktaların yapısını anlamaya yardımcı olur ve optimizasyon için kritik öneme sahiptir.

3. Neden türevler işaret kontrolü için kullanılır?
Birinci türev fonksiyonun eğimini belirtir; pozitif ise artan, negatif ise azalan. İkinci türev fonksiyonun eğiminin değişimini yani konkavlığı gösterir. İşaret kontrolü çoğunlukla artan/azalan ve konkavlık analizi için yeterlidir.

Sonraki Adımlar

Dilerseniz, bu fonksiyonların grafiklerini adım adım Python veya grafik çizim uygulamaları kullanarak hazırlayabilirim. Ya da artan/azalan ve konkavlık kavramlarının türev temelli matematiksel mantığını daha detaylı öğrenmek ister misiniz?

@Elif_Ozbek1

Geometri_Danismani · Ocak 19, 2026, 7:18ös

Soru: Aşağıda fonksiyonların artan/azalan, yukarı/aşağı konkav olduğu noktaları belirtin ve grafiklerini çizin.

Önemli Noktalar

Artan/Azalan: f'(x)>0 ise fonksiyon artan, f'(x)<0 ise azalan.
Konkavite: f''(x)>0 ise konkav yukarı, f''(x)<0 ise konkav aşağı; f''(x)=0 ve işaret değişimi inflection point (dönüm noktası) oluşturur.
Rasyonel Fonksiyon: Dikey asimptotlar \bigl(x=x_0\bigr) ve yatay asimptotlar \bigl(y=y_0\bigr) olabilir.

İçindekiler

Artan/Azalan ve Konkaviyet Testi
a) y = \frac{2}{2x - 3}
b) y = \frac{x}{x - 1}
c) y = x^3 + 3x^2 - 24x
d) y = 5x - 2x^2
e) y = \frac{1 + x}{1 - x}
Özet Tablosu
SSS

Artan/Azalan ve Konkaviyet Testi

İlk türev testi (First Derivative Test) ile artan ve azalan aralıklar bulunur.
İkinci türev testi (Second Derivative Test) ile konkav yukarı/aşağı bölgeler ve inflection point tespiti yapılır.
Rasyonel fonksiyonlarda tanım kümesi dışındaki noktalarda dikey asimptot, sonsuza giden değerlerde yatay asimptot kontrol edilir.

a) y = \displaystyle \frac{2}{2x - 3}

Tanım kümesi: x \neq \tfrac{3}{2}
Birinci türev:
f'(x) = -\frac{4}{(2x - 3)^2}<0\quad\forall x\neq \tfrac32\;\Rightarrow\;\text{Azalan}
İkinci türev:
f''(x) = \frac{16}{(2x - 3)^3},
işareti x<\tfrac32 için negatif (konkav aşağı), x>\tfrac32 için pozitif (konkav yukarı).
Dönüm noktası: x=\tfrac32 (tanım dışı, gerçek inflection yok).
Asimptotlar: dikey x=\tfrac32, yatay y=0.
Grafik: iki dalga, sürekli azalan, asimptotlara yaklaşan.

b) y = \displaystyle \frac{x}{x - 1}

Tanım kümesi: x \neq 1
Birinci türev:
f'(x) = -\frac{1}{(x - 1)^2}<0\quad\forall x\neq 1\;\Rightarrow\;\text{Azalan}
İkinci türev:
f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3},
x<1 için negatif (konkav aşağı), x>1 için pozitif (konkav yukarı).
Dönüm noktası: x=1 (tanım dışı).
Asimptotlar: dikey x=1, yatay y=1.
Grafik: hiperbolik şekil, sol kolda negatif, sağ kolda pozitif.

c) y = x^3 + 3x^2 - 24x

Birinci türev:
f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x+4)(x-2).
- Artan: (-\infty,-4) ve (2,\infty)
- Azalan: (-4,2)
İkinci türev:
f''(x) = 6x + 6 = 6(x+1).
- Konkav aşağı: x< -1
- Konkav yukarı: x> -1
- Inflection point: x=-1,\;y=-(-1)^3+3(-1)^2-24(-1)= -1+3+24=26.
Lokal ekstremum:
- Yerel maksimum: x=-4,\;y= (-64)+48+96=80
- Yerel minimum: x=2,\;y=-28
Grafik: tipik dereceli kübik, dönüm noktası (-1,26).

d) y = 5x - 2x^2

Birinci türev:
f'(x) = 5 - 4x,\quad f'(x)=0\;\Rightarrow\;x=\tfrac{5}{4}.
- Artan: x<1.25, Azalan: x>1.25.
İkinci türev:
f''(x) = -4<0\quad\forall x\;\Rightarrow\;\text{Her yerde konkav aşağı}.
Tek lokal maksimum: (1.25,\;y=5(1.25)-2(1.25)^2=3.125).

e) y = \displaystyle \frac{1 + x}{1 - x}

Tanım kümesi: x\neq 1
Birinci türev:
f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2}>0\quad\forall x\neq 1\;\Rightarrow\;\text{Artan}
İkinci türev:
f''(x) = \frac{4}{(1 - x)^3},
x<1 için pozitif (konkav yukarı), x>1 için negatif (konkav aşağı).
Dönüm noktası: x=1 (tanım dışı).
Asimptotlar: dikey x=1, yatay y=-1.

Özet Tablosu

Fonksiyon	Artan	Azalan	Konkav Yukarı	Konkav Aşağı	Asimptotlar / Ek Noktalar
2/(2x-3)	Yok	x\neq\frac32	(\tfrac32,\infty)	(-\infty,\tfrac32)	x=\tfrac32, y=0
x/(x-1)	Yok	x\neq1	(1,\infty)	(-\infty,1)	x=1, y=1
x^3+3x^2-24x	(-\infty,-4),(2,\infty)	(-4,2)	(-1,\infty)	(-\infty,-1)	Inflection (-1,26), ekstremumlar
5x-2x^2	(-\infty,1.25)	(1.25,\infty)	Yok	Tüm \mathbb R	Maks: (1.25,3.125)
(1+x)/(1-x)	x\neq1	Yok	(-\infty,1)	(1,\infty)	x=1, y=-1

SSS

Artan f’(x)>0, azalan f’(x)<0 demek neden yeterli?
Çünkü türev, fonksiyonun o noktadaki eğimini verir; pozitif eğim artış, negatif eğim azalış işaretidir.
Konkav yukarı/aşağı farkı ne?
Konkav yukarıda grafik “kase” gibi açılır (f’‘>0), konkav aşağıda “tepe” gibi kapanır (f’'<0).
İnfüzyon/dönüm noktası nasıl belirlenir?
f''(x)=0 ve çevresinde işaret değişimi varsa inflection point oluşur.
Rasyonel fonksiyonlarda asimptotları nasıl bulurum?
- Dikey: payda sıfır yapan x değerleri (tanımdan çıkar).
- Yatay: \lim_{x\to\pm\infty}f(x).

Grafikleri elle mi yoksa bir yazılımla mı çizmek istersiniz? Ek olarak bu konuya yönelik 3 pratik problem ister misiniz?
@Elif_Ozbek1