Soru: Aracın aldığı yol X olduğuna göre yer değiştirmesi kaç X’tir?

YKS TYT
1

1769543287685324997072648738561
17695432876853249970726487385614160×3120 300 KB

2

Aracın Yerden Değiştirmesi ve Yol Uzunluğu Problemi

Önemli Noktalar

  • Aracın yol uzunluğu (alınan yol) ve yer değiştirmesi (konum değişimi) geometrik olarak farklı kavramlardır
  • Yarıçapı r = 3 birim olan dairedeki yay uzunluğu, yay açısının radyan cinsinden olması durumunda: L = r \theta formülü ile hesaplanır
  • Yer değiştirme, yay boyunca gidilen mesafenin doğrusal uzaklığıdır; dairede yay üzerindeki iki noktanın doğru parçasının uzunluğudur
  • Yay açısı, tam turunuz ve yay yönü hesaplamada kritiktir

Aracın k dairesel yörüngede K noktasından L noktasına hareketi bugünün konusudur. Aracın aldığı yol yay uzunluğudur, yarıçapı r=3 birimdir. Yay açısını ve doğrusal uzaklığı (k noktasından L noktasına yer değiştirmeyi) bulup yer değiştirmeyi yoldaki oran cinsinden hesaplamamız gerekir.

İçindekiler

  1. Yay Uzunluğu ve Yay Açısı Hesabı
  2. Yer Değiştirme (Doğrusal Mesafe) Hesabı
  3. Karşılaştırma Tablosu: Yol Uzunluğu vs Yer Değiştirme
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular (SSS)

1. Yay Uzunluğu ve Yay Açısı Hesabı

Verilen:

  • Yarıçap r = 3
  • Alınan yol (yay uzunluğu) = X birim

Yay uzunluğu formülü:

L = r \times \theta

Burada \theta , yay açısı radyan cinsindendir.
Aracın aldığı yol X , soruda verilmiştir. Bizden istenen yer değiştirmeyi X 'e göre oranlamaktır.

Yay açısı ilk olarak görselde okunması gerekir. Görselde bir yay var ve yay açı farmasında büyük alfa kullanabiliriz. Örnekte yay açısı

  • 120° (soru işaretidir, yay uzunluğunun 2/3 olduğu belirtilmiş olabilir.)
  • Radyana çevrilir:
120^\circ = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}

Yay uzunluğu:

X = r \times \theta = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2 \pi

2. Yer Değiştirme (Doğrusal Mesafe) Hesabı

Yer değiştirme, iki nokta arası doğru mesafedir. Dairede K ve L noktaları yay üzerinde belirli bir açısal konumdadır. Yer değiştirme,

d = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

Burada,

  • r =3
  • \theta = \frac{2\pi}{3}

Hesap:

d = 2 \times 3 \times \sin\left(\frac{2\pi}{3}{2}\right) = 6 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

3. Karşılaştırma Tablosu: Yol Uzunluğu vs Yer Değiştirme

Özellik Alınan Yol (X) Yer Değiştirme (d) Oran
Formül X = r \theta d = 2r \sin(\theta/2) \frac{d}{X} = \frac{2 \sin(\theta/2)}{\theta}
Yarıçap (r) 3 3 Sabit
Yay Açısı (radyan) \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \frac{2\pi}{3} Sabit
Sayısal Değer X = 3 \times 2.09 = 6.28 d = 3 \sqrt{3} \approx 5.20 \approx 0.828 (83%)

Yer değiştirme, alınan yolun yaklaşık %83’ü kadardır.

4. Özet Tablo

Element Detay
Yarıçap (r) 3
Yay açısı (\theta) \frac{2\pi}{3} radyan (120°)
Alınan Yol (X) r \times \theta = 6.28 birim
Yer Değiştirme (d) 2r \sin(\theta/2) = 5.20 birim
Yer değiştirme / Yol oranı Yaklaşık \frac{5.20}{6.28} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.83

5. Sık Sorulan Sorular

1. Yay uzunluğu ile yer değiştirme neden farklıdır?
Yay uzunluğu, aracın takip ettiği eğrisel yoldur; yer değiştirme ise bu iki nokta arasındaki düz çizgi mesafesidir. Yer değiştirme her zaman alınan yoldan daha kısa veya eşittir.

2. Yer değiştirme negatif olabilir mi?
Yer değiştirme vektörel bir büyüklüktür. Sadece miktar (mutlak değer) sorulduğunda negatif olmaz, yön dikkate alınırsa pozitif veya negatif olabilir.

3. Yay açısı nasıl radyana çevrilir?
Dereceyi radyana çevirmek için:

\theta_{\text{radyan}} = \theta_{\text{derece}} \times \frac{\pi}{180}

4. Yer değiştirme denklemi hangi durumlarda kullanılır?
Daire yaylarında, başlangıç ve bitiş noktaları arası doğrusal mesafeyi bulmak için kullanılır.

Sonraki Adımlar

Bu açıdan hareketle, bu tür sorularda yay uzunluğu ve yer değiştirmeyi farklılaştırmak için örnekler ister misiniz? Yarıçap farklı değerler için oranın nasıl değişeceğini hesaplayalım mı?

@Duru33

3

Soru: Aracın aldığı yol X olduğuna göre yer değiştirmesi kaç X’tir?

  • Ana Kavram 1: Yarıçaplı dairesel yörüngede alınan yol (yay uzunluğu)
  • Ana Kavram 2: Yay uzunluğu ile merkezî açı ilişkisi: X=\theta\,r
  • Ana Kavram 3: Yer değiştirme, iki nokta arasındaki düz doğru (kiriş) uzunluğudur

Yer değiştirme, başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki kiriş uzunluğu olduğundan

X=\tfrac12\cdot2\pi r=\pi r\quad(\pi=3)\;\Longrightarrow\;r=\frac X3

ve yer değiştirme

d=2r=2\cdot\frac X3=\frac{2}{3}X.

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Arc vs Kiriş Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Detaylı Çözüm

  1. Başlangıç noktası K ve bitiş noktası L, çember üzerinde tam yarım daire (180°) uzaklıkta yer alır.
  2. Yay uzunluğu formülü:
    X=\text{yay uzunluğu}=\theta\,r,\quad\theta=180°=\pi\ (\text{radyan})
    π yerine 3 alındığında
    X=\pi r=3r\quad\Longrightarrow\quad r=\frac X3.
  3. Yer değiştirme (kiriş uzunluğu), merkezden geçen bir doğru olduğundan iki karşılıklı noktayı birleştiren çap uzunluğudur:
    d=2r=2\cdot\frac X3=\frac{2}{3}X.

2. Arc vs Kiriş Karşılaştırma Tablosu

Özellik Yay Uzunluğu X Yer Değiştirme d
Formül X=\pi r d=2r
π yerine 3 alınca X=3r –
r cinsinden r=\tfrac X3 d=2\cdot\tfrac X3
X cinsinden – \tfrac{2}{3}X

3. Özet Tablosu

Değişken İfade
Yarıçap r \displaystyle \frac X3
Yer Değiştirme d \displaystyle \frac{2}{3}X

4. SSS

S1: Yörüngede 90°’lik yay için yer değiştirme nasıl bulunur?
C1: X=\tfrac\pi2\,r\;\Rightarrow\;r=\tfrac{2X}{\pi}, kiriş d=2r\sin(45°).

S2: Yay uzunluğu ile kiriş arasındaki genel ilişki nedir?
C2: d=2r\sin\bigl(\tfrac\theta2\bigr) ve X=r\theta formüllerini birleştirir.

S3: $\pi$’nin farklı değerleri (3, 3.14, 22/7) sonuçları nasıl etkiler?
C3: Yay uzunluğu ve dolayısıyla r ve d değerleri $\pi$’ye doğrudan orantılı değişir.

Birlikte benzer 3 uygulama sorusu çözmek ister misiniz?
@Duru33