Soru Analizi: (x - 1)^3 · k · (x + 1)^4 ifadesinde terimlerden biri 15x olduğuna göre k kaçtır?

YKS TYT
1

!17688129208938232135371190182202|375x500 [Link Silindi]

2

Soru Analizi: (x - 1)^3 · k · (x + 1)^4 ifadesinde terimlerden biri 15x olduğuna göre k kaçtır?

Önemli Noktalar

  • İfade: (x - 1)^3 \cdot k \cdot (x + 1)^4
  • Terimler açılacak ve 15x teriminin katsayısı bulunacak
  • Binom açılımı ve terimlerin çarpımıyla x dereceli terim belirlenmeli
  • Amaç: Katsayı k değerini bulmak

İçindekiler

  1. Binom Açılımı ve Terim Seçimi
  2. 15x Teriminin Katsayısının Hesaplanması
  3. Sonuç ve k Değerinin Bulunması

1. Binom Açılımı ve Terim Seçimi

Bizi ilgilendiren: (x - 1)^3 ve (x + 1)^4 terimlerinin çarpımı.

Binom açılımı genel formülü:

(a + b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r
  • (x-1)^3 = \sum_{r=0}^3 \binom{3}{r} x^{3-r}(-1)^r
  • (x+1)^4 = \sum_{s=0}^4 \binom{4}{s} x^{4-s} 1^s = \sum_{s=0}^4 \binom{4}{s} x^{4-s}

Terimlerin çarpımında, toplam x derecesi 1 olan terim gerekmektedir (çünkü 15x var).

  • (x-1)^3 teriminden: x^{3-r}
  • (x+1)^4 teriminden: x^{4-s}
    Toplam: (3-r) + (4-s) = 1

Buradan:

3 - r + 4 - s = 1 \Rightarrow 7 - r - s = 1 \Rightarrow r + s = 6

r 0 ile 3 arasında, s 0 ile 4 arasında değer alır.
Toplamları 6 olan çiftler:

  • r=2, s=4
  • r=3, s=3

Bu iki (r,s) çiftindeki terimler çarpıldığında toplam x’in derecesi 1 olur.

2. 15x Teriminin Katsayısının Hesaplanması

Her çift için terim katsayıları:

r=2, s=4:

\binom{3}{2} x^{3-2} (-1)^2 = \binom{3}{2} x^{1} (1) = 3x
\binom{4}{4} x^{4-4} = \binom{4}{4} x^{0} = 1

Çarpım katsayısı: 3 \times 1 = 3

r=3, s=3:

\binom{3}{3} x^{3-3} (-1)^3 = 1 \times x^0 \times (-1) = -1
\binom{4}{3} x^{4-3} = 4x^{1}

Çarpım katsayısı: -1 \times 4 = -4

Terimlerin toplam katsayısı:

Toplam x^1 terimi katsayısı:

3 + (-4) = -1

Ama ifadede k ile çarpılmış:

k \times (-1) = 15

Buradan:

k = -15

Sonuç:

k = -15

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Toplam x terimi için (r,s) çiftleri (2,4), (3,3) -
Katsayılar 3, -4 Toplam = -1
k \times (-1) = 15 denklemi k = -15 -

Sık Sorulan Sorular

1. Binom açılımında terim seçerken toplam üs neden 1 olarak alındı?
Çünkü aranan terim ifadesinde 15x var, yani sadece birinci dereceden x’li terim arıyoruz. Bu yüzden iki binomlu ifadeden gelen x kuvvetlerinin toplamı 1 olmalı.

2. k negatif çıkması normal midir?
Evet, verilen ifadede k’nın işaretli olması mümkündür, bu matematiksel olarak doğrudur.

3. Binom katsayıları nasıl hesaplanır?
Binom katsayısı \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} formülüyle hesaplanır.

Sonraki Adımlar
İsterseniz binom açılımı ile ilgili diğer örnekler, ya da polinomlarda terim seçimi ve katsayı hesaplamaları üzerine detaylı örnekler sunabilirim. Devam etmek ister misiniz?

@Aa_Aa1

3

Soru: k·(x−1)³·(x+1)⁴ açılımında terimlerden biri 15x olduğuna göre, k kaçtır?

• Key Takeaways

  • (x−1)³ açılımı: x^3 - 3x^2 + 3x - 1
  • (x+1)⁴ açılımı: x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
  • Birleşik x^2 teriminin katsayısı 3k olduğunda 3k=15\;\Rightarrow\;k=5

k=5. Çünkü açılımdaki x^2 teriminin birleşik katsayısı 3k olup 3k=15 eşitliğinden k=5 elde edilir.

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Kavram Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Detaylı Çözüm

  1. Açılımları yazalım
    (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
    (x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
  2. Çarpımı bulun
    (x-1)^3(x+1)^4 = x^7 + x^6 - 3x^5 - 3x^4 + 3x^3 + 3x^2 - x - 1.
  3. k ile çarparak terim katsayısını ayarla
    • x^2 teriminin katsayısı orijinalde 3
    • k\cdot 3 = 15\;\Rightarrow\;k=5

Kavram Karşılaştırması

Özellik (x−1)³ (x+1)⁴
Derece 3 4
Katsayı Dizisi 1,\;-3,\;3,\;-1 1,\;4,\;6,\;4,\;1
İşaret Deseni +, –, +, – +, +, +, +, +
x^2 Katsayısı 3 6

Özet Tablosu

İfade Açılım Katsayıları x^2 Katsayısı
(x-1)^3 1,\;-3,\;3,\;-1 3
(x+1)^4 1,\;4,\;6,\;4,\;1 6
k\cdot (x-1)^3(x+1)^4 toplam — k\cdot 3 = 15\;\Rightarrow\;k=5

SSS

  1. Binom açılımı genel formülü nedir?
    “$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{,n-i}b^i$”
  2. Terim katsayısı nasıl bulunur?
    İlgili derecelerdeki katsayılar çarpılarak ve toplanarak elde edilir.
  3. Farklı dereceli bir terimin katsayısını nasıl ayarlarız?
    Önce her iki açılımı ayrı ayrı, sonra çarpımı toplamlarından yararlanarak buluruz.

Çeşitli derecelerdeki benzer sorular üzerinde 3 örnek çözüm ister misiniz?

@Aa_Aa1