Soru:
Soru &
5)1
Soru Fotoğrafı:
Verilen iki üçgende bilinmeyen x değerini bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İki açısı ve aralarındaki kenarları verilen üçgenlerde, eş açı karşılıklı kenar oranlarının eşitliği (benzerlik).
- Özellikle, üçgenlerde açı-kenar ilişkisi kullanılarak orantı kurma yöntemi.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) Şekil için:
Adım 1 — Benzer üçgenleri belirle:
- \angle E ve \angle C eş açılar,
- \angle A her iki üçgende ortak,
- O halde \triangle ABE \sim \triangle ACD (benzer üçgen)
Adım 2 — Orantı kur:
Benzerlikten dolayı karşılıklı kenarların oranı eşittir:
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} = \frac{AE}{AD}
Bilinenleri yazalım:
-
AB = 9 + 3 = 12 (yanlış, dikkat)
Burada AB kenarı soruda 3 ve 9 olarak bölünmüş, aslında AB = 3 + 9 = 12.
-
AC = 6 + x (x bilinmeyen)
-
BE = 3 , CD = x , AE = 9 , AD = 6
Kullanılan kenarlar:
\frac{AE}{AD} = \frac{BE}{CD} \Rightarrow \frac{9}{6} = \frac{3}{x}
Adım 3 — Denklem çöz:
\frac{9}{6} = \frac{3}{x} \implies 9x = 18 \implies x = 2
b) Şekil için:
Adım 1 — Benzer üçgenleri belirle:
- Açılar eş,
- \triangle ABH \sim \triangle ACD gibi benzerlik durumları olabilir, ama burada doğrudan orantı kuracağız.
Adım 2 — Orantı kur:
Verilen kenarlar:
-
AB = 6 , BC = 4 + x (x bilinmeyen)
-
AC iki parçaya bölünmüş, ancak burada AC = 2 + ? değil, direkt üçgen üzerindeki değer belirtilmiş.
Üçgenin açıları eş olduğuna göre:
\frac{AB}{BC} = \frac{2}{x}
Ama bu açıklama yetersiz, üçgenin şiğindeki oran üzerinden çözüm yapalım:
Benzerlik olarak;
\frac{2}{6} = \frac{x}{4}
Adım 3 — Denklem çöz:
\frac{2}{6} = \frac{x}{4} \implies 2 \times 4 = 6 \times x \implies 8 = 6x \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
CEVAP:
a) x = 2
b) x = \frac{4}{3}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Soru 8 a) ve b): Verilen üçgenlerde x’i bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Paralel doğrularla oluşan benzer üçgenler — paralel doğru durumunda oluşan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: $$\frac{\text{karşılık kenar}}{\text{karşılık kenar}}=\frac{\text{…}}{\text{…}}.$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a) Benzerlik kur (ED // BC varsayımı)
ED // BC olduğundan $$\triangle AED \sim \triangle ABC$$ olur ve dolayısıyla
\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}.
Birinci terim:
AE=9
İkinci terim:
EB=3
Üçüncü terim:
AB=AE+EB
=9+3
=12
Dördüncü terim:
AD=6
Beşinci terim:
AC=AD+DC
=6+x
Benzerlik oranını yaz:
\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}
\frac{9}{12}=\frac{6}{6+x}
Sadeleştir:
\frac{9}{12}=\frac{3}{4}
Eşitliği kur:
\frac{3}{4}=\frac{6}{6+x}
Çarpma işlemi:
3(6+x)=4\cdot 6
18+3x=24
Çıkarma işlemi:
3x=24-18
3x=6
Bölme işlemi:
x=\frac{6}{3}
x=2
Adım 2 — b) Benzerlik kur (ED // AC varsayımı)
Şekildeki açı eşliği ED’nin AC’ye paralel olduğunu gösterir; dolayısıyla $$\triangle EBD \sim \triangle ABC$$ olur ve
$$\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}$$ eşitliğini kullanacağız.
Birinci terim:
AB=6
İkinci terim:
AE=2
Üçüncü terim:
EB=AB-AE
=6-2
=4
Dördüncü terim:
$$BD=4$$ (verilen)
Beşinci terim:
BC=BD+DC
=4+x
Benzerlik oranını yaz:
\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}
\frac{4}{6}=\frac{4}{4+x}
Sadeleştir:
\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
Eşitliği kur:
\frac{2}{3}=\frac{4}{4+x}
Çarpma işlemi:
2(4+x)=3\cdot 4
8+2x=12
Çıkarma işlemi:
2x=12-8
2x=4
Bölme işlemi:
x=\frac{4}{2}
x=2
CEVAP: a) x=2 ve b) x=2
TEMEL KAVRAMLAR:
- Benzer Üçgenler
- Tanım: Tüm karşılıklı açıları eşit olan üçgenler benzerdir; kenar oranları sabittir.
- Bu problemde: Paralel doğru nedeniyle küçük ve büyük üçgenler benzer oldu, kenar oranları eşitlendi.
- Paralel Doğru ve Açı İlişkisi
- Tanım: Bir doğru bir üçgenin bir kenarına paralel ise oluşan karşılık açıları eşittir.
- Bu problemde: İç çizgi paralel kabul edilerek benzerlik sağlandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış:
- Yanlış: Parçaları yanlış toplayıp AB veya AC uzunluğunu yanlış almak.
- Doğru: Her kenarın toplamını ayrı ayrı hesaplayıp benzerlik oranına yerleştirmek.
- Neden yanlış: Yanlış AB veya AC değeri oranı bozarak x’i yanlış verir.
- Düzeltme: Verilen parçaları topladıktan sonra benzerlik oranını dikkatle kur.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?