Soru Analizi - Soru #647986

Maths Question
1

Soru:
)

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli643×1024 45.2 KB

2

Verilen üçgenlerde x uzunluklarının bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üçgenlerde orantı ve benzerlik prensipleri kullanılacak.
  • Özellikle paralel doğrular ve iç bölüntü teoremi (benzer üçgenler orantısı) uygulanacak.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

a) Şekil

  • Paralel doğrulardan dolayı küçük üçgenle büyük üçgen benzer.
  • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır:
\frac{2}{3} = \frac{4}{x}
  • Orantıyı çözelim:
x = \frac{4 \times 3}{2} = 6

b) Şekil

  • İç üçgenin kenar uzunlukları 4, 9, 7, dış üçgen kenarları x ve 3.
  • Benzer üçgen oranı:
\frac{4}{x} = \frac{9}{3}
  • Çözüm:
\frac{4}{x} = 3 \Rightarrow x = \frac{4}{3}

(Kontrol: 9/3=3)

c) Şekil

  • Benzer üçgen oranı:
\frac{4}{6} = \frac{x}{9}
  • Çözüm:
x = \frac{9 \times 4}{6} = 6

d) Şekil

  • Alt üçgen ve üst üçgen kenarları orantılıdır.
  • Taban kenarları 5 ve 10.
  • Yükseklikler 6 ve x.
  • Orantı:
\frac{6}{x} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
  • Çözüm:
6 = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 12

e) Şekil

  • Benzer üçgen oranı:
\frac{4}{7} = \frac{8}{x}
  • Çözüm:
x = \frac{8 \times 7}{4} = 14

:white_check_mark: CEVAP:

  • a) x = 6
  • b) x = \frac{4}{3}
  • c) x = 6
  • d) x = 12
  • e) x = 14

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Şekillere göre x değerlerini bulun

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Benzer üçgenler: Karşılıklı kenarların oranları eşittir. Eğer küçük ve büyük üçgen benzerse, herhangi iki karşılık gelen kenar için \dfrac{\text{küçük}}{\text{büyük}}=\dfrac{\text{diğer küçük}}{\text{diğer büyük}}.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — (a) Benzer üçgen oranını kur
Küçük üçgenin sol eğik kenar uzunluğu 2, alt kısmı 3 olduğuna göre büyük üçgenin sol eğik kenarı toplam 2+3 olur.

Küçük/ büyük oranı:

\frac{2}{2+3}

Kenarların karşılığı olarak tabanlarda:

4 = x \cdot \frac{2}{2+3}

Çözüm:

4 = x \cdot \frac{2}{5}
4 \cdot 5 = x \cdot 2
20 = 2x
x = \frac{20}{2}
x = 10

Adım 2 — (b) Benzer üçgen oranını kur
Sağ eğik kenarda küçük parça 4, büyük parçanın tamamı 4+3 olur. Tabanlarda küçük parça 9, büyük taban 9+x olur. Oran:

\frac{4}{4+3} = \frac{9}{9+x}

Çözüm:

\frac{4}{7} = \frac{9}{9+x}
4(9+x) = 7 \cdot 9
36 + 4x = 63
4x = 63 - 36
4x = 27
x = \frac{27}{4}
x = 6{,}75

Adım 3 — (c) Benzer üçgen oranını kur
Sol eğik kenarda üst parça 4, alt parça 6 ise toplam 4+6. Tabanlarda küçük parça 9, büyük taban 9+x. Oran:

\frac{4}{4+6} = \frac{9}{9+x}

Çözüm:

\frac{4}{10} = \frac{9}{9+x}
\frac{2}{5} = \frac{9}{9+x}
2(9+x) = 5 \cdot 9
18 + 2x = 45
2x = 45 - 18
2x = 27
x = \frac{27}{2}
x = 13{,}5

Adım 4 — (d) Benzer dik üçgenleri kullan
Sol taraftaki küçük dik üçgende taban 5 ve yüksekliği 6. Büyük üçgenin tabanı toplam 5+10=15 ve yüksekliği x. Benzerlik yüzünden:

\frac{6}{x} = \frac{5}{15}

Çözüm:

\frac{6}{x} = \frac{1}{3}
6 = \frac{x}{3}
6 \cdot 3 = x
x = 18

Adım 5 — (e) Benzer üçgen oranını kur
Sol eğik kenarda üst parça 4, alt parça 7 ise toplam 4+7. Tabanlarda küçük parça 8, büyük taban x. Oran:

\frac{4}{4+7} = \frac{8}{x}

Çözüm:

\frac{4}{11} = \frac{8}{x}
4x = 8 \cdot 11
4x = 88
x = \frac{88}{4}
x = 22

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
a) x = 10
b) x = \dfrac{27}{4} = 6{,}75
c) x = \dfrac{27}{2} = 13{,}5
d) x = 18
e) x = 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Benzerlik
  • Tanım: İki üçgen benzer ise karşılık gelen açıları eşit ve karşılık gelen kenar oranları eşittir.
  • Bu problemde: Paralel kesitler veya ortak açı ile oluşan küçük üçgenler büyük üçgenlerle benzer olup kenar oranları kullanılarak bilinmeyenler bulunur.
  1. Oran ve Orantı
  • Tanım: İki büyüklüğün birbirine bölünmesiyle elde edilen ilişki; benzerlikte kullanılır.
  • Bu problemde: Küçük/büyük = küçük/büyük şeklinde denklem kurulur ve çapraz çarpma ile çözülür.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Orantıyı ters kurma

  • Yanlış: Küçük uzunluğu büyük uzunluğa bölünmesi gerekirken ters yapılır.
  • Doğru: Karşılık gelen kenarlar doğru eşleştirilmeli; küçük/büyük şeklinde oran kurulur.
  • Neden yanlış: Yanlış eşleştirme sonucu elde edilen denklem hatalı olur.
  • Düzeltme: Karşılık gelen kenarları net olarak işaretleyip oranı doğru kur.

:cross_mark: Toplamı unutmak

  • Yanlış: Parçaların toplamını hesaba katmadan oran kurmak (ör. 2 yerine 5 kullanmak).
  • Doğru: Bir kenarın parçaları verildiyse toplamın doğru alınması gerekir (ör. 2+3).
  • Neden yanlış: Ölçüler yanlış üçgen boyu olarak kullanılır.
  • Düzeltme: Önce toplam kenarı yaz, sonra oranı kur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?