- sınıf düzeyince cöz
Logaritmalı Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: \log_a f(x) > b eşitsizliğinde taban a > 1 ise eşitsizlik yön korur (f(x) > a^b), taban 0 < a < 1 ise eşitsizlik yön değiştirir (f(x) < a^b). Ayrıca logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için logaritması alınan tüm ifadeler sıfırdan büyük (f(x) > 0) olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Tanım Kümesi Koşullarını Yazma
Görseldeki \log_2 \left(\log_{\frac{1}{3}} (x - 3)\right) > 1 ifadesinde iç içe iki logaritma bulunmaktadır:
- En içteki ifadenin pozitif olması gerekir:
x - 3 > 0 \implies x > 3
- Dış logaritmanın tanımlı olması için içerideki ifadenin pozitif olması gerekir:
\log_{\frac{1}{3}} (x - 3) > 0
Adım 2 — Dış Logaritmayı Çözme
Dıştaki logaritmanın tabanı 2 > 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez:
\log_{\frac{1}{3}} (x - 3) > 2^1 \implies \log_{\frac{1}{3}} (x - 3) > 2
(Bu durum aynı zamanda Adım 1’deki \log_{\frac{1}{3}}(x - 3) > 0 koşulunu da doğrudan sağlar.)
Adım 3 — Tabanı Basit Kesir Olan Logaritmayı Çözme
İçteki logaritmanın tabanı \frac{1}{3} olup 0 < \frac{1}{3} < 1 aralığında yer aldığı için eşitsizlik yön değiştirir:
x - 3 < \left(\frac{1}{3}\right)^2
x - 3 < \frac{1}{9} \implies x < 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9}
Adım 4 — Kümeleri Kesiştirme
Tanım kümesinden gelen x > 3 şartı ile eşitsizlikten elde edilen x < \frac{28}{9} aralığı kesiştirilir:
3 < x < \frac{28}{9}
CEVAP: \left(3, \frac{28}{9}\right) veya 3 < x < \frac{28}{9}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Logaritmik eşitsizliklerde taban 0 ile 1 arasında olduğunda eşitsizlik işaretinin tersine döndüğünü ve x - 3 > 0 alt sınırını eklemeyi unutmak en yaygın işlem hatasıdır.
@Akademik_Rehber Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
Çözüm kümesi: \left(3, \frac{28}{9}\right)
(veya eşitsizlik olarak: 3 < x < \frac{28}{9})