\log_{2} (\log_{\frac{1}{3}} (x-3)) > 1
Logaritma Eşitsizliklerinde Taban ve Tanım Kümesi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: \log_a f(x) > b eşitsizliğinde taban a > 1 ise eşitsizlik yön korur (f(x) > a^b), taban 0 < a < 1 ise eşitsizlik yön değiştirir (f(x) < a^b). Ayrıca logaritmanın tanımı gereği logaritması alınan tüm ifadeler sıfırdan büyük (f(x) > 0) olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Dış Logaritmayı Çözme ve Tanım Kümesini Belirleme
Verilen \log_{2} \left(\log_{\frac{1}{3}} (x-3)\right) > 1 eşitsizliğinde dıştaki logaritmanın tabanı 2 > 1 olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez:
\log_{\frac{1}{3}} (x-3) > 2^1 \implies \log_{\frac{1}{3}} (x-3) > 2
(Bu şart sağlandığında \log_{\frac{1}{3}} (x-3) > 2 > 0 olacağından dış logaritmanın içi otomatik olarak pozitif kalır.)
Adım 2 — İç Logaritmayı Çözme
İçteki logaritmanın tabanı \frac{1}{3} olup 0 < \frac{1}{3} < 1 aralığında yer aldığından, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir:
x - 3 < \left(\frac{1}{3}\right)^2 \implies x - 3 < \frac{1}{9}
x < 3 + \frac{1}{9} \implies x < \frac{28}{9}
Adım 3 — Tanım Aralığı ile Kesiştirme
En içteki ifadenin logaritma tanımı gereği daima pozitif olması gerekir:
x - 3 > 0 \implies x > 3
Elde edilen iki eşitsizlik birleştirildiğinde çözüm kümesi bulunur:
3 < x < \frac{28}{9}
CEVAP: \left(3, \frac{28}{9}\right) (3 < x < \frac{28}{9})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik ifadelerde eşitsizliğin yön değiştirmesini unutmak ve iç ifadenin x - 3 > 0 tanım şartını gözden kaçırmak en yaygın çeldirici hatadır. Her iki sınırın da kontrol edilmesi şarttır.