Soru: a ve b tam sayılar olmak üzere, $a^2 \cdot b = 4$ eşitliği sağlanıyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

YKS TYT
1

176892401106923365808192972608
176892401106923365808192972608720×960 24.9 KB

2

Resimli Soru: a ve b tam sayılar denklemi ve önerilen ifadelerden hangileri her zaman doğru?

Önemli Noktalar

  • a^2 \cdot b = 4 eşitliği verilmiş.
  • a ve b tam sayı, a, b \in \mathbb{Z}.
  • Verilen ifadelerden; a+b tek doğal sayı, 2a-b çift sayı, a - 3b tek sayı olarak değerlendirilmiş.
  • Her ifadenin doğruluğu sorgulanıyor.

İçindekiler

  1. Verilen Denklemin İncelenmesi
  2. İfadelerin Tekrar Değerlendirilmesi
  3. Doğruluk Kontrolü ve Cevap

1. Verilen Denklemin İncelenmesi

Denklem:

a^2 \cdot b = 4

a, b tam sayı olduğuna göre,

  • a^2 pozitif ve tam kare bir sayı olacak.
  • 4 sayısını sağlayabilmek için a^2 ve b’nin çarpımı 4’e eşit olmalı.

Olası tam sayı çarpanlar:

  • a^2 = 1, b = 4
  • a^2 = 4, b = 1
  • Ayrıca negatif durumlar da olabilir:
  • a^2 = 1, b = -4
  • a^2 = 4, b = -1

Ancak, a^2 her zaman pozitif veya sıfırdır. Çünkü karesi negatif olamaz. Burada 0 olamaz çünkü sonuç 4 olmalı.

Buna göre:

  • a = \pm 1 ve b = \pm 4
  • veya a = \pm 2 ve b = \pm 1

Önemli nokta: b tam sayı ve yukarıdaki gibi belirlenebilir.

2. İfadelerin Tekrar Değerlendirilmesi

İfadeler şunlar:

  1. a + b tek doğal sayıdır
  2. 2a - b çift sayıdır
  3. a - 3b tek sayıdır

Bu ifadelerin doğruluğunu verilen a, b değerleriyle sınayalım.

Durum 1: a = 1, b = 4 (Buradaki işaretler pozitif)

  • a + b = 1 + 4 = 5 → Tek doğal sayı. Doğru.
  • 2a - b = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 → Çift sayı. Doğru.
  • a - 3b = 1 - 3(4) = 1 - 12 = -11 → Tek sayı. Doğru.

Durum 2: a = -1, b = -4

  • a + b = -1 + (-4) = -5 → Tek sayı ama doğal sayı değil. Yanlış.
  • 2a - b = 2(-1) - (-4) = -2 + 4 = 2 → Çift sayı. Doğru.
  • a - 3b = -1 - 3(-4) = -1 + 12 = 11 → Tek sayı. Doğru.

Durum 3: a = 2, b = 1

  • a + b = 2+1=3 → Tek doğal sayı. Doğru.
  • 2a - b = 2(2) - 1=4 - 1=3 → Tek sayı, bu ifade çift sayı olmalıydı. Yanlış.
  • a - 3b = 2 - 3(1) = 2 -3 = -1 → Tek sayı. Doğru.

Durum 4: a = -2, b = -1

  • a + b = -2 + (-1) = -3 → Tek sayı ama doğal sayı değil. Yanlış.
  • 2a - b = 2(-2) - (-1) = -4 +1 = -3 → Tek sayı, yanlış.
  • a - 3b = -2 - 3(-1) = -2 + 3 = 1 → Tek sayı. Doğru.

3. Doğruluk Kontrolü ve Cevap

İfade Her Zaman Doğru Mu? Açıklama
I: a+b tek doğal sayıdır Hayır Negatif değerlerde doğal sayı olmaz.
II: 2a-b çift sayıdır Hayır Bazı değerlerde tek çıkar (örneğin a=2, b=1).
III: a - 3b tek sayıdır Evet Tüm kombinasyonlarda sonuç tek sayıdır.

Sonuç: Yalnızca III. ifade her zaman doğrudur.

Sonuç

Doğru cevap: B) Yalnız III

Sonraki Adımlar

Bu tarz sayılarla ilgili daha karmaşık eşitlik ve koşul sorularını çözmek ister misiniz? Örneğin, tam sayıların tek/çift özelliklerine göre genel stratejilerle ilgilenmek?

@Sibel_Can

3

Soru: a ve b tam sayılar olmak üzere, a^2 \cdot b = 4 eşitliği sağlanıyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I. a + b^{a} tek doğal sayıdır.
II. 2a - b çift sayıdır.
III. a - 3b tek sayıdır.

• Temel Çıkarımlar

  • a^2 değeri yalnızca 1 veya 4 olabilir; bu da a=\pm1 ya da a=\pm2 demektir.
  • Buna karşılık b=\frac{4}{a^2}\in\{4,1\} olur.
  • Tüm olası dört durumda da yalnızca III. ifade sabit olarak doğru çıkar.

Cevap: Yalnızca III. ifade her zaman doğrudur.

İçindekiler

  1. Çözüm Özeti
  2. Detaylı Çözüm
  3. Karşılaştırmalı Parite Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Çözüm Özeti

  1. a^2\cdot b=4 şartından a^2\in\{1,4\}, dolayısıyla a=\pm1,\pm2 ve b=4/a^2\in\{4,1\}.
  2. Dört olası çift: (a,b)=(1,4),(-1,4),(2,1),(-2,1).
  3. Tüm kombinasyonlarda
    • I. ifade: Pozitiflerde doğru, negatiflerde b^a tam sayı değil veya doğal olmadığı için her zaman doğru değil.
    • II. ifade: Bazılarında tek sonuç verdiği için her zaman doğru değil.
    • III. ifade: Tüm dört durumda da tek sonuç verir.

Detaylı Çözüm

Önce $a^2\cdot b=4$’ten

a^2\in\{1,4\}\;\Rightarrow\;a=\pm1,\pm2, \quad b=\frac{4}{a^2}\in\{4,1\}.

Dört durumu tek tek inceleyelim:

(a,b) I. a+b^a II. 2a-b III. a-3b
(1,4) 1+4^1=5 (tek doğal) 2-4=-2 1-12=-11
(-1,4) -1+4^{-1}=-3/4 (yanlış) -2-4=-6 -1-12=-13
(2,1) 2+1^2=3 (tek doğal) 4-1=3 2-3=-1
(-2,1) -2+1^{-2}=-1 (yanlış) -4-1=-5 -2-3=-5

• I. ifade yalnızca (1,4),(2,1) durumunda doğru; negatiflerde bozuluyor.
• II. ifade yalnızca a=\pm1 için doğru; a=\pm2 durumunda tek sonuç veriyor.
• III. ifade tüm durumlarda tektir.

Karşılaştırmalı Parite Tablosu

İşlem Tek ± Tek Tek ± Çift Çift ± Çift Üs Alma (taban tek/çift)
Sonuç türü Çift Tek Çift Tabana göre değişir:
a odd, b odd even – – b^a odd
a odd, b even – odd – b^a even if a\ge1
a even, b odd – – – b^a odd if a\ge1
a even, b even – – even b^a even if a\ge1

Özet Tablosu

İfade Durum Her Zaman Doğru mu?
I. a + b^a Negatif $a$’larda doğal değil Hayır
II. 2a - b a=\pm2 için tek çıkar Hayır
III. a - 3b Tüm durumlarda tektir Evet

SSS

S1. a^2\cdot b=4 iken a=0 olamaz mı?
C1. a=0 seçilse 0^2\cdot b=0\neq4 olacağından mümkün değildir.

S2. Negatif üslerde tam sayı şartı nasıl değerlendirilir?
C2. Negatif üs b^a=1/b^{|a|} biçiminde kesir verir; tam sayı veya doğal sayı olmayabilir.

S3. Denklemin çözümü için a^2>4 olamaz mı?
C3. a^2>4 seçildiğinde b=4/a^2 kesinlikle tam sayı çıkmaz.

Konuyu pekiştirmek için farklı a,b değerleriyle benzer bir soru çözmemi ister misiniz?
@Sibel_Can

4

Kısa bir çözüm yolu var mı

5

Kısa Çözüm Yolu: a^2 \cdot b = 4 ve İfadelerin Doğruluğu

Önemli Noktalar

  • a^2 sadece 1 veya 4 olabilir çünkü 4’ü bölen tam kare pozitif tam sayılar bunlar.
  • Buna göre a = \pm1 veya \pm2 ve b = 4 / a^2 yani 4 veya 1.
  • İfadeleri bu dört durumda hızlıca kontrol etmek yeterlidir.

Adım Adım Kısa Çözüm

  1. Çarpanları Belirle:

    a = \pm1, \pm2 \quad;\quad b = \frac{4}{a^2} = 4 \text{ veya } 1

  2. Durumları Yaz:

    (a,b) = (1,4), (-1,4), (2,1), (-2,1)

  3. İfadeleri İncele:

  • I. ifade: a + b^a

    • a=1,b=4 \Rightarrow 1 + 4^1 = 5 (tek ve doğal)
    • a=-1,b=4 \Rightarrow -1 + 4^{-1} = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} (doğal değil, yanlış)
    • Yani I. ifade her zaman doğal sayı ve tek değildir.

  • II. ifade: 2a - b

    • a=1,b=4 \Rightarrow 2 - 4 = -2 (çift)
    • a=2,b=1 \Rightarrow 4 - 1 = 3 (tek, yanlış)
    • Yani II. ifade her zaman çift değildir.

  • III. ifade: a - 3b

    • Tüm durumlarda tek çıkar (çünkü a ve b sabit seçeneklerden)
    • Her durumda tek sayı olduğu sabittir.

Sonuç

Yalnızca III. ifade her zaman doğrudur.

Özet

İfade Her Zaman Doğru mu?
I Hayır
II Hayır
III Evet

Bu kısa çözüm, sadece olası a, b değerlerini bulup ifadeleri tek tek kontrol ederek hızlıca sonucu verir.

İsterseniz benzer sorular veya daha hızlı teknikler için yardımcı olabilirim.

@Sibel_Can