Soru: A ve B kovalarının içindeki su miktarlarının zamanla değişimini veren fonksiyonların cebirsel temsilleri ve musluklar açıldıktan sonra kaçıncı dakikada A ve B kovalarında eşit miktarda su olacağını bulunuz

YKS TYT
1

17697790541716542824063315807375
17697790541716542824063315807375720×960 32.7 KB

2

Matematik Problemi: A ve B Kovalarının Su Miktarlarının Fonksiyon Temsili ve Eşitlenme Zamanı

Önemli Noktalar

  • A kovası boş, kapasitesi 20 litre
  • B kovası aynı kapasitede, içinde 9 litre su var
  • İki musluk var: biri 2 dakikada 4 litre, diğeri 2 dakikada 1 litre su akıtıyor
  • Musluklar aynı anda açılıyor, A kovası dolunca musluklar kapanıyor
  • Amaç, su miktarlarının zamana bağlı fonksiyonlarını yazmak ve eşit olduğu zamanı bulmak

İçindekiler

  1. Su Miktarlarının Fonksiyonel Temsili
  2. A ve B Kovalarındaki Su Miktarlarının Eşit Olduğu Zamanın Hesaplanması

1. Su Miktarlarının Fonksiyonel Temsili

Verilen bilgiler:

  • A kovasına 2 dakikada 4 litre → saatteki debi: 2 litre/dak
  • B kovasına 2 dakikada 1 litre → saatteki debi: 0.5 litre/dak
  • B kovasında başlangıçta 9 litre su var
  • Zaman fonksiyonu t dakika olarak alınır

Fonksiyonlar:

  • A(t) : A kovasındaki su miktarı (litre)
  • B(t) : B kovasındaki su miktarı (litre)

Musluklar aynı anda açıldığında:

  • A kovasına dolan su miktarı A(t) = 2t
  • B kovasına dolan su miktarı debiye göre artar ancak başlangıçta 9 litre vardı, dolayısıyla:
    B(t) = 9 + 0.5t

Koşul: A kovasının kapasitesi 20 litre, dolduğu anda musluklar kapanıyor.

Musluklar en fazla dolduğu süre kadar açık kalır:
A(t) = 20 \rightarrow 2t = 20 \Rightarrow t=10 dakika

Bu süre sonunda musluklar kapanacak.

2. A ve B Kovalarındaki Su Miktarlarının Eşit Olduğu Zamanın Hesaplanması

Amaç: A(t) = B(t) olacak zamanı bulmak.

Denklemi yazalım:

2t = 9 + 0.5t
2t - 0.5t = 9
1.5t = 9
t = \frac{9}{1.5} = 6 \text{ dakika}

Yani, 6. dakikada iki kovadaki su miktarı eşit olur.

Özet Tablo

Fonksiyon İfade Açıklama
A(t) 2t Başlangıçta boş olan A kovasına dolan su
B(t) 9 + 0.5t Başlangıçta 9 litre su ile başlayan B kovasına dolan su
Eşitlik Zamanı t = 6 dakika A ve B kovalarındaki su miktarlarının eşit olduğu zaman

Sık Sorulan Sorular

1. Muslukların akış hızları nasıl bulunur?
İki dakikada akan litre miktarı alınıp, dakikadaki litreye bölünür. Burada 4 litre / 2 dk = 2 litre/dk ve 1 litre / 2 dk = 0.5 litre/dk olarak hesaplanır.

2. Neden musluklar A kovası dolunca kapanıyor?
Soruda musluklar A kovası tamamen dolduğunda kapatılacağı belirtilmiştir, bu da maksimum 10 dakika açık kalacakları anlamına gelir.

3. B kovası dolduğunda ne olur?
Soruda sadece A kovası dolunca musluklar kapanıyor denmiş. B kovasının başlangıçta suyu var ve kapasitesi 20 litre olduğundan, 10 dakikada toplam su miktarı 9 + 0.5*10 = 14 litre olur, dolmaz.

Sonraki Adımlar

İsterseniz sorunun diğer kısmı için (b şıkkı) muslukların açılıp kapanmasıyla ilgili grafik çizimi ya da detaylı cebirsel çözümünü de yapabilirim. Ya da benzer su dolumu problemlerinde sürelerin analizini gösterebilirim.

@Fatma75

3

Soru: A ve B kovalarının içindeki su miktarlarının zamanla değişimini veren fonksiyonların cebirsel temsilleri ve musluklar açıldıktan sonra kaçıncı dakikada A ve B kovalarında eşit miktarda su olacağını bulunuz.

Önemli Noktalar

  • A kovası: 20 L kapasite, başlangıçta 0 L su içerir.
  • B kovası: 20 L kapasite, başlangıçta 9 L su içerir.
  • Musluk akış hızları sırasıyla 2 L/dk ve 0,5 L/dk’dir.

A ve B kovalarının su miktarları sırasıyla

A(t)=2t \quad\text{ve}\quad B(t)=9+0.5\,t

fonksiyonlarıyla gösterilir. Bu fonksiyonlar, A kovası 10 dakikada tam dolduğu için 0\le t\le10 kapsamında geçerlidir. Eşit su miktarı için

2t = 9 + 0.5t \quad\Longrightarrow\quad 1.5t = 9 \quad\Longrightarrow\quad t = 6\ \mathrm{dk}.

İçindekiler

  1. Cebirsel Temsiller
  2. Eşit Miktar Zamanı
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Cebirsel Temsiller

  • A kovası için akış hızı v_A=4\ \mathrm{L}/2\ \mathrm{dk}=2\ \mathrm{L/dk} olduğundan
    A(t)=2t,\quad A(0)=0.
  • B kovası için akış hızı v_B=1\ \mathrm{L}/2\ \mathrm{dk}=0.5\ \mathrm{L/dk} olduğundan
    B(t)=9+0.5\,t,\quad B(0)=9.

Eşit Miktar Zamanı

Eşitlik denklemi:

A(t)=B(t) \quad\Longrightarrow\quad 2t = 9+0.5t \quad\Longrightarrow\quad t=6\ \mathrm{dk}.

Bu anda her iki kovada da A(6)=2\cdot6=12\ \mathrm{L} su vardır.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik A Kovası B Kovası
Başlangıç Su Miktarı 0 L 9 L
Akış Hızı 2\ \mathrm{L/dk} 0.5\ \mathrm{L/dk}
Tam dolma süresi (20 L) 20/2=10\ \mathrm{dk} (20-9)/0.5=22\ \mathrm{dk}

Özet Tablosu

Fonksiyon Formül Geçerlilik Aralığı
A kovası A(t)=2t 0 \le t \le 10
B kovası B(t)=9+0.5t 0 \le t \le 10
Eşit su zamanı t=6\ \mathrm{dk} –

SSS

  1. Soru: Fonksiyonlar neden yalnızca t\le10 için geçerli?
    Cevap: Çünkü A kovası 10 dakikada tam dolar ve musluklar kapanır.
  2. Soru: B kovası kaç litre suyla kapanır?
    Cevap: B(10)=9+0.5\cdot10=14\ \mathrm{L}.
  3. Soru: Eşit su miktarı ne kadardır?
    Cevap: Her iki kovada da 6. dakikada 12\ \mathrm{L} su olur.
  4. Soru: B kovasının tamamen dolması ne kadar sürer?
    Cevap: 11\ \mathrm{L} eksik olduğu için 11/0.5=22\ \mathrm{dk} sürer.

Bu fonksiyonlarla ilgili kavramanızı pekiştirecek 3 adet alıştırma sorusu hazırlamamı ister misiniz?
@Fatma75