Soru: a ve b birer doğal sayı olmak üzere (a − 2) ile (b + 5) sayıları aralarında asaldır. $\frac{a-2}{b+5} = \tfrac{18}{42}$ olduğuna göre $a + b$ işleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

!IMG_20260105_185526|281x500 [Link Silindi]

2

Soru Açıklaması: a ve b doğal sayıları olup (a - 2) ile (b + 5) aralarında asaldır.

Önemli Noktalar

  • Aralarında asal iki sayının ortak böleni sadece 1’dir.
  • Verilen kesir sadeleştirilebilir ve orantı kurulabilir.
  • Doğal sayılar olduğu için pozitif tam sayı değerler aranır.

Birinci verilenler:
[
\frac{a-2}{b+5} = \frac{18}{42}
]
ve
[
(a-2) \text{ ile } (b+5) \text{ aralarında asaldır.}
]

İçindekiler

  1. Verilen Oranda Sadeleştirme
  2. Aralarında Asal Olma Durumu
  3. a ve b Değerlerinin Hesaplanması
  4. Sonucun Bulunması

1. Verilen Oranda Sadeleştirme

Verilen:
[
\frac{a-2}{b+5} = \frac{18}{42}
]

Önce sağdaki kesri sadeleştirelim:
18 ve 42’nin ortak böleni 6’dır.
[
\frac{18}{42} = \frac{3}{7}
]

O halde;
[
\frac{a-2}{b+5} = \frac{3}{7}
]

2. Aralarında Asal Olma Durumu

İki sayı aralarında asalsa, bu iki sayının EBE(S) = 1’dir, yani ortak bölenleri sadece 1’dir.

Bizde:
(a - 2) ve (b + 5) aralarında asaldır ve oranları 3/7 olarak verilmiştir.

Ortada bir oran olduğuna göre:

  • Oranlardaki sayılar (3k) ve (7k) şeklinde yazılabilir.
  • Ancak aralarında asal olmaları için (k=1) olmalıdır çünkü (3k) ve (7k) sayıları ancak (k=1) ise aralarında asal olabilir.

Yani:
[
a-2 = 3 \times 1 = 3
]
[
b + 5 = 7 \times 1 = 7
]

3. a ve b Değerlerinin Hesaplanması

Bulduğumuz değerler:
[
a - 2 = 3 \Rightarrow a = 5
]
[
b + 5 = 7 \Rightarrow b = 2
]

4. Sonucun Bulunması

İstenen:
[
a + b = 5 + 2 = 7
]

Sonuç:

a + b işleminin sonucu 7’dir.

Sık Sorulan Sorular

1. Neden k = 1 seçildi?
Çünkü aralarında asal olması için sayıların ortak böleninin 1 olması gerekir. Eğer (k > 1) ise ortak çarpanları olur, yani aralarında asal olmazlar.

2. Aralarında asal sayıların diğer özellikleri nelerdir?
Ortak böleni sadece 1 olan tam sayılar aralarında asaldır. Bu durum genellikle faktörleme yöntemlerinde önemli rol oynar.

3. Bu tür problemler genellikle hangi sınavlarda çıkıyor?
YKS, LGS gibi matematik sınavlarının sayı teorisi ve oran-orantı bölümlerinde sıklıkla sorulur.

Sonraki Adımlar

Bu tür aralarında asal sayılarla ilgili problemlerde genel çözüm yöntemleri ve örnekler görmek ister misiniz?

@Keziban_Inan

3

Soru: a ve b birer doğal sayı olmak üzere (a − 2) ile (b + 5) sayıları aralarında asaldır. \frac{a-2}{b+5} = \tfrac{18}{42} olduğuna göre a + b işleminin sonucu kaçtır?

  • Önemli Noktalar
    • (a-2) ve (b+5) aralarında asal olmalıdır.
    • Kesir \tfrac{18}{42} sadeleştiğinde \tfrac{3}{7} olur.
    • Doğal sayı koşulundan ortak çarpan $n=1$’dir.

  • Cevap
    a + b = 7

  • İçindekiler

    1. Soru Özeti
    2. Çözüm
    3. Özet Tablosu
    4. SSS

Soru Özeti

  • Aralarında asal koşulu: \gcd(a-2,\;b+5)=1.
  • Verilen kesir: \tfrac{a-2}{b+5}=\tfrac{18}{42}.
  • a,b\in\mathbb{N}.

Çözüm

  1. \displaystyle \frac{18}{42} kesrini en büyük ortak bölenine göre sadeleştiririz:
    \frac{18}{42} = \frac{18\div6}{42\div6} = \frac{3}{7}.
  2. Aralarında asal koşuluna göre (a-2)=3n,\;(b+5)=7n formunda yazılabilir.
  3. Fakat \gcd(3n,\,7n)=n olacağından aralarında asal olmaları için n=1 olmalıdır.
  4. Böylece
    a-2 = 3,\quad b+5 = 7 \quad\Longrightarrow\quad a = 5,\; b = 2.
  5. Sonuç olarak
    a + b = 5 + 2 = 7.

Özet Tablosu

Adım Değer/Formül
Verilen kesir \tfrac{18}{42}
Sadeleştirme \tfrac{3}{7}
Parametreli gösterim a-2=3n,\;b+5=7n
Aralarında asal koşulu n=1
Bulunan değerler a=5,\;b=2
Toplam a+b=7

SSS

S1: Aralarında asal sayılar ne demektir?
İki tam sayının yalnızca 1 ve kendileriyle bölünebiliyor olmalarıdır (yani OEB = 1).

S2: Bir kesri nasıl sadeleştiririz?
Pay ve paydayı ortak bölenine bölerek.

S3: Doğal sayı koşulu neden önemli?
Ortak çarpanı n doğalsa ve sonuç da doğal sayı çıkmalı, bu ek kısıt $n=1$’i gerektirir.

S4: \gcd(3n,7n)=n nasıl bulunur?
Her iki terim de n çarpanına sahip, başka ortak çarpan yoktur; o yüzden OEB $n$’dir.

Devamında benzer aralarında asal problemleri çözmek ister misiniz? @Keziban_Inan