!IMG_20260105_185526|281x500 [Link Silindi]
Doğal Sayılar a ve b için Kesir ve Asallık Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- a ve b, doğal sayılar olarak verilmiştir.
- Kesir (\frac{a-2}{b+5} = \frac{18}{42}) biçimindedir.
- (a-2) ve (b+5) sayıları aralarında asal (yani ortak böleni 1) olmalıdır.
- Amaç: (a + b) işleminin sonucunu bulmak.
Problem, pay ve paydanın aralarında asal olduğu kesir ilişkisi ve verilen eşitlik üzerinden çözülür.
İçindekiler
Problem Analizi
Verildiğine göre:
[
\frac{a-2}{b+5} = \frac{18}{42}
]
ve (a-2) ile (b+5) aralarında asaldır.
Asallık ve Kesir Sadeleştirme
Öncelikle sağdaki kesri sadeleştirelim:
[
\frac{18}{42} = \frac{18 \div 6}{42 \div 6} = \frac{3}{7}
]
Burada 3 ve 7 aralarında asal sayılardır (yerleşik bir bilgi) ve sağdaki kesrin sade hali pay ve paydası aralarında asal.
Soruya göre; (\frac{a-2}{b+5}) kesri de aralarında asal pay ve paydadan oluşmalı. Bu şart sağlandığı için:
[
a - 2 = 3k, \quad b + 5 = 7k
]
şeklinde bir orantı yoktur, çünkü (a-2) ve (b+5) zaten mümkün olan en sade hali almalıdır.
Fakat problemde (a-2) ve (b+5) aralarında asal. Yukarıdaki kesrin sade hali (\frac{3}{7}) olduğuna göre,
[
a - 2 = 3 \quad \text{ve} \quad b + 5 = 7
]
olmalıdır.
Çünkü başka ortak böleni olmayan ve (\frac{18}{42}) eşitliği sağlayan farklı bir çarpan varsa, (a-2) ile (b+5) aralarında asal olmazdı.
a + b Sonucunun Hesaplanması
Bulduğumuz değerleri kullanarak:
[
a - 2 = 3 \Rightarrow a = 5
]
[
b + 5 = 7 \Rightarrow b = 2
]
Toplamları:
[
a + b = 5 + 2 = 7
]
Sık Sorulan Sorular
1. Neden (a-2) ve (b+5) doğrudan sade hali olan 3 ve 7 olarak alındı?
Çünkü pay ve payda aralarında asal olduğu için ve (\frac{a-2}{b+5} = \frac{18}{42}), sade hal (3/7) olduğundan (a-2) ve (b+5) bu sade hali vermek zorundadır.
2. Kesir sadeleştirmenin önemi nedir?
Sadelik, problemlerde pay ve paydanın ortak bölenlerinin ayrılmasına yardımcı olur. Aralarında asal olma durumu doğrudan sade kesre işaret eder.
3. Başka hangi değerler olabilir?
Eğer (a-2) ve (b+5) aralarında asal değilse veya tam tersi bir durum olsaydı farklı çözümler olurdu. Ancak verilen koşul yalnızca seçilen değerleri geçerli kılar.
Sonraki Adımlar
Benzer aralarında asal sayılar ve oran problemlerini çözmek için, bu yöntemi kullanarak daha fazla örnek ister misiniz? Ya da bu tür problemler için hata yapmamak adına sık yapılan yanılgıları açıklamam faydalı olur mu?
Soru: a ve b birer doğal sayı olmak üzere (a–2) ile (b+5) sayıları aralarında asaldır. \frac{a-2}{b+5}=\frac{18}{42} olduğuna göre, a + b işleminin sonucu kaçtır?
- a ve b birer doğal sayıdir
- \gcd(a-2,\;b+5)=1 (aralarında asal)
- Kesir olarak \frac{a-2}{b+5}=\frac{18}{42}
Yanıt:
Kesri önce 18/42=3/7 şeklinde sadeleştirebiliriz. Asal olma şartı, pay ve paydanın aralarında asal olması demektir; bu nedenle
a-2=3,\quad b+5=7
olmalı (çünkü ortak bölen 1 için $k=1$’dir). Buradan a=5 ve b=2 bulunur.
Dolayısıyla
a+b=5+2=7.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- \frac{18}{42} kesrini en küçük terimlerine indirgeriz: \frac{18}{42}=\frac{3}{7}.
- Aralarında asal olduklarına göre ortak çarpan $k=1$’dir. Yani
$$a-2=3\cdot1,\quad b+5=7\cdot1.$$ - a=5,\;b=2 olarak bulunur.
- Son olarak a+b=7 elde edilir.
Karşılaştırma Tablosu
| Kavram | Değer |
|---|---|
| Orijinal Kesir | 18/42 |
| Sadeleştirilmiş Kesir | 3/7 |
| Ortak Çarpan k | 1 |
| \gcd(a-2,\;b+5) | 1 (asal) |
Özet Tablosu
| Veri | Değer |
|---|---|
| a-2 | 3 |
| b+5 | 7 |
| a | 5 |
| b | 2 |
| a+b | 7 |
SSS
S1: Kesir nasıl sadeleştirilir?
Pay ve paydayaki ortak bölenleri bulup bölüm işlemi yaparak sadeleştirme yapılır.
S2: “Aralarında asal” ne demektir?
İki sayının ortak böleni yalnızca 1 ise sayılar aralarında asaldır.
S3: Ortak çarpan k neden 1 oldu?
Eğer k>1 olsaydı pay ve payda ortak bölen paylaşırdı, ancak asal koşulu bozulurdu.
S4: Başka hangi k değerleri mümkün değil?
k=2,3,\dots alındığında \gcd(3k,7k)=k>1 olur; aralarında asal şartı ihlal edilir.
Bu yöntemi pekiştirmek için farklı sayılarla benzer bir soru çözmek ister misiniz?
@Keziban_Inan