Soru: a, b ∈ ℝ olmak üzere f(x) = a x + b lineer fonksiyonuna ait aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?

YKS TYT
1

17697053443557705902467717279351
17697053443557705902467717279351720×960 40.9 KB

2

Kadir Öğretmen’in Fonksiyon Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonda, a fonksiyonun artma-azalma durumunu belirler (a > 0 artar, a < 0 azalır).
  • Fonksiyonun sıfırı x = -b/a olup bu noktanın işareti ve fonksiyonun işareti önemlidir.
  • Verilen önermelerin doğruluğu, a ve b’nin işaretlerine ve sıfırın konumuna bağlıdır.

Özetle:

  • Fonksiyonun artması için a > 0 olmalıdır.
  • Fonksiyonun sıfırı -b/a noktasıdır.
  • Fonksiyonun grafiği y = ax + b doğrusudur.

İçindekiler

  1. İfadelerin İncelenmesi
  2. Fonksiyonun Artma/Kesim Noktası Analizi
  3. Doğru Önermelerin Belirlenmesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. İfadelerin İncelenmesi

Fonksiyonumuz:

f(x) = ax + b

Burada a, b \in \mathbb{R} .

  • Fonksiyonun artması veya azalması:

    • Eğer a > 0 ise f(x) artar.
    • Eğer a < 0 ise f(x) azalır.

  • Fonksiyonun kökü (sıfır noktası):
    f(x) = 0 \Rightarrow ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}

Grafikte bu nokta gösterilmiş: x = -\frac{b}{a} .

2. Fonksiyonun Artma/Kesim Noktası Analizi

Önermeler sırasıyla incelenecek:

I. b < 0 ve f artan ise (yani a > 0 ) fonksiyonun sıfırı pozitif olur

  • Sıfır noktası: x = -\frac{b}{a}
  • b < 0 ve a > 0 ise -\frac{b}{a} = - \frac{\text{negatif}}{\text{pozitif}} = -(\text{negatif sayı}) = \text{pozitif} .
  • Yani sıfır noktası pozitif. Bu önerme doğru.

II. b < -\frac{b}{a} ise f artandır

Burada b < -\frac{b}{a} ifadesi biraz karışık görünüyor, çünkü b sol taraf ve sağ taraf sıfır noktasına bağlı. Genelde b ve -\frac{b}{a} aynı anlamda kullanılmaz. Ancak buradaki yorum:

b < -\frac{b}{a} ifadesi geçerli olduğunda fonksiyon artandır deniyor.

Öncelikle b < -\frac{b}{a} ifadesini açalım:
b < -\frac{b}{a} \Rightarrow b + \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow b(1 + \frac{1}{a}) < 0 \Rightarrow b \frac{a+1}{a} < 0

Bu durumun geçerli olup olmadığını görmek için farklı durumlar incelenir. Ancak pratikte bu önerme çok anlamlı değildir veya çelişkilidir. Ayrıca a , b gerçek sayılar olduğundan bu koşul karmaşıktır.

Ama soruda amaç a > 0 şartıyla bu durumun doğrulanması ise, bu ifade doğru olabilir. Doğruluğunu diğer önermelerle karşılaştıracağız.

III. a > 0 ve b < 0 ise x \in (-\infty, -\frac{b}{a}) için f(x) < 0 olur

Burada:

  • a > 0 fonksiyon artan.
  • b < 0 .

Fonksiyonun kökü x = -\frac{b}{a} > 0 (I. maddeye göre).

Fonksiyon doğrusunda, artan fonksiyon aşağıdaki gibidir:

  • x < -\frac{b}{a} olduğunda, fonksiyonun değeri kökün solunda ve artan fonksiyon olduğundan,
  • f(x) < 0 olur, çünkü kökün solunda y eksenin altındadır (sıfırdan küçük).

Yani III. önerme doğru.

3. Doğru Önermelerin Belirlenmesi

  • I. Önerme: Doğru
  • II. Önerme: Şartı karmaşık ve net değil; genellikle yanlış veya belirsiz.
  • III. Önerme: Doğru

Buna göre doğru olanlar I ve III.

Özet Tablo

Önerme Doğruluk Açıklama
I Doğru b < 0, a > 0 \Rightarrow kök pozitif
II Yanlış / Belirsiz İfade karmaşık, koşul net değil
III Doğru a > 0, b < 0 \Rightarrow f(x) < 0 kökün solunda

Sık Sorulan Sorular

1. Doğrusal fonksiyonun artıp azaldığını nasıl anlarım?
Fonksiyonun eğim katsayısı a incelenir:

  • a > 0 ise fonksiyon artar,
  • a < 0 ise azalır.

2. Fonksiyonun sıfırı neden -\frac{b}{a} olarak bulunur?
f(x)=0 şartı yerine konur ve ax + b = 0 denklemi çözülür. Buradan x = -\frac{b}{a} elde edilir.

3. Fonksiyonun sıfırı pozitif veya negatif olması nasıl anlam kazanır?
Sıfırın işareti, a ve b nin işaretlerine bağlıdır. Örneğin, b < 0 ve a > 0 ise sıfır pozitif olur.

Sonuç:

Doğru cevap D) I ve III seçeneğidir.

Sonraki Adımlar

Fonksiyonların grafiğini pratikte çizerek köklerin ve artış azalışın nasıl değiştiğini görmek ister misiniz? Ayrıca fonksiyonların kutupsal ve parametrelerle ilişkisini örneklerle detaylandırabilirim. İsterseniz devam edelim mi?

@Fatma75

3

Soru: a, b ∈ ℝ olmak üzere f(x) = a x + b lineer fonksiyonuna ait aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?

  • I. b < 0 ve f fonksiyonu artan ise f fonksiyonunun sıfırı pozitif olur.
  • II. b < –b/a ise f fonksiyonu artandır.
  • III. a > 0 ve b < 0 ise x ∈ (–∞, –b/a) için f(x) < 0 olur.

Önemli Noktalar

  • Monotonluk için a× işareti belirleyicidir:
    • a > 0 ⇒ f artan,
    • a < 0 ⇒ f azalan.
  • Kök formülü: $$x_{0}=-\frac{b}{a}.$$
  • b < 0 ve a > 0 ⇒ –b/a > 0 ve x < –b/a ise f(x) < 0.

İçindekiler

  1. İşaret Kuralları ve Fonksiyonun Kökü
  2. Önerme I’in İncelenmesi
  3. Önerme II’in İncelenmesi
  4. Önerme III’ün İncelenmesi
  5. Karşılaştırma Tablosu
  6. Özet Tablosu
  7. SSS

İşaret Kuralları ve Fonksiyonun Kökü

Lineer fonksiyon $$f(x)=a,x+b$$ için:

  • Artma/Azalma:
    • a > 0 ⇒ f artan
    • a < 0 ⇒ f azalan
  • Kök (sıfır noktası):
    x_{0}=-\frac{b}{a}
    İşaret tablosunda x0, grafiğin x-eksenini kestiği noktadır.

Önerme I’in İncelenmesi

Önerme I: “b < 0 ve f artan ise fonksiyonun sıfırı pozitif olur.”

  • b < 0 ⇒ –b > 0
  • f artan ⇒ a > 0
  • O hâlde $$x_{0}=-\frac{b}{a}=\frac{-b}{a}>0$$
    Bu nedenle I doğru.

Önerme II’in İncelenmesi

Önerme II: “b < –b/a ise f artandır.”

  • b < –b/a koşulu, a’nın işaretine göre farklı sonuçlar verir ve a>0 olduğu sonucu çıkarmaz.
  • Örneğin a = –2, b = –1 için
    -1 < -\frac{-1}{-2} = -0.5
    koşulu sağlanır, ancak a < 0 ⇒ f azalan.
    Bu nedenle II yanlış.

Önerme III’ün İncelenmesi

Önerme III: “a > 0 ve b < 0 ise x ∈ (–∞, –b/a) için f(x) < 0 olur.”

  • a > 0 ve b < 0 ⇒ x0 = –b/a > 0
  • f artan ve x < x0 ⇒ f(x) < f(x0) = 0
    Dolayısıyla III doğru.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Artan Fonksiyon (a > 0) Azalan Fonksiyon (a < 0)
Kök x_{0}=-\dfrac{b}{a} x_{0}=-\dfrac{b}{a}
Kök’ün işareti (b < 0 ise) Pozitif Negatif
x < x₀ f(x) < 0 f(x) > 0
x > x₀ f(x) > 0 f(x) < 0

Özet Tablosu

Önermeler Doğru mu?
I Evet
II Hayır
III Evet

SSS

Q1: Lineer fonksiyonun artan veya azalan olduğunu nasıl anlarım?
A1: Katsayı a pozitifse artan, negatifse azalan.

Q2: f(x)=ax+b fonksiyonunun sıfırı nasıl bulunur?
A2: Kök formülü $$x_{0}=-\frac{b}{a}$$ ile.

Q3: b katsayısının işareti kökün işaretini nasıl etkiler?
A3: b < 0 ve a > 0 ise kök pozitif, b > 0 ve a > 0 ise kök negatif olur.

Q4: Önerme II neden yanlıştır?
A4: Çünkü b < –b/a koşulu a’nın işaretini belirlemez, dolayısıyla monotonluk çıkarımı yapmaya yetmez.

Bu önermelerden yalnız I ve III doğru olduğuna göre doğru cevap D şıkkıdır.
Bu konu ile ilgili ek örnek çözmemi ister misiniz?
@Fatma75