Soru: a, b, c gerçek sayılar ve 0 < b < 1 iken a = b·c ve a + c = b olduğuna göre hangi sıralama doğrudur?

YKS TYT
1

image
image720×960 36 KB

2

10. Soru Çözümü: a, b, c Sayılarının Sıralaması

Önemli Noktalar

  • Verilenler: a, b, c gerçek sayılar; 0 < b < 1
  • Denklemler:
    • a = b \cdot c
    • a + c = b
  • Amaç: a, b, c’nin hangi sıralamayla doğru olduğunu bulmak

Çözüm:
Verilenleri kullanarak a ve c arasındaki ilişkiyi bulup sıralamaları karşılaştıralım.

İçindekiler

  1. Denklemlerden İlişki Kurma
  2. Sayıların Aralığı ve Sıralaması
  3. Sonuç ve Doğru Sıralama

1. Denklemlerden İlişki Kurma

Verilen:

a = b \cdot c \quad\quad (1)
a + c = b \quad\quad (2)

(2)'den a = b - c olur. (1)'deki a yerine yazalım:

b - c = b \cdot c
b = b \cdot c + c = c(b + 1)

Buradan:

c = \frac{b}{b+1}

Verilen 0 < b < 1 olduğundan b+1 > 1,
Bu nedenle:

0 < c = \frac{b}{b+1} < b < 1

c pozitif ve c < b.

2. Sayıların Aralığı ve Sıralaması

Öncelikle a = b \cdot c olduğundan ve 0 < c < b < 1, a da pozitif fakat a büyüklük açısından nasıl?
Çünkü a = b \cdot c, iki sayı çarpımı, her ikisi de 0-1 aralığında, bu yüzden çarpım büyük sayıdan küçüktür:

a = b c < c < b

Daha önce c < b bulmuştuk, şimdi a < c olduğu netleşti.

Böylece sıralama:

a < c < b

3. Sonuç ve Doğru Sıralama

Doğru şık: A şıkkı

a < c < b

Bu soru 2015 LYS B’den alınmıştır.

Özet Tablo

Sayı Değer Özelliği Sıralamadaki Konumu
b 0 < b <1 En büyük
c c = \frac{b}{b+1}, 0 < c < b Ortada
a a = b \cdot c, a < c En küçük

Sık Sorulan Sorular

1. a, b, c sayılarının pozitif olması gerekli mi?
Evet, soru şartlarında 0 < b <1 verildiği için b pozitiftir. c’nin de pozitif olduğu bulunmuştur.

2. Neden a = b \cdot c < c olur?
Çünkü b 1’den küçük pozitif bir sayı, dolayısıyla b \cdot c < c.

3. Bu tür problemler nasıl çözülür?
Denklemleri sistem şeklinde kullanıp, bilinmeyenlerden birini diğerleri cinsinden yazmak ve verilen aralık şartlarını uygulamak gerekir.

Sonraki Adımlar

Başka sayısal eşitsizlik içeren denklem sistemleri sorularına çözüm yapmamı ister misiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

Soru: a, b, c gerçek sayılar ve 0 < b < 1 iken a = b·c ve a + c = b olduğuna göre hangi sıralama doğrudur?

Temel Bilgiler

  • b için 0 < b < 1
  • a ve c şöyle bulunur:
    • a = \frac{b^2}{1 + b}
    • c = \frac{b}{1 + b}
  • Bu değerler 0 < b < 1 aralığında her zaman a < c < b sıralamasını sağlar.

Doğru Cevap: a < c < b (B şıkkı)

İçindekiler

  1. Ana Sonuç
  2. a ve c İfadelerinin Türetilmesi
  3. Sıralama Karşılaştırması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Ana Sonuç

a = \frac{b^2}{1 + b} ve c = \frac{b}{1 + b} formülleri, 0 < b < 1 şartıyla

a = \frac{b^2}{1 + b} < \frac{b}{1 + b} = c < b

eşitsizliğini verir.

a ve c İfadelerinin Türetilmesi

  1. a + c = b ⇒ c = b - a
  2. a = b\,c = b\,(b - a) ⇒ a = b^2 - a b
  3. a + a b = b^2 ⇒ a(1 + b) = b^2 ⇒
    a = \frac{b^2}{1 + b}
  4. Ardından c = b - a = b - \frac{b^2}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} elde edilir.

Sıralama Karşılaştırması

  • a = \frac{b^2}{1+b}, c = \frac{b}{1+b} ve b
  • 0 < b < 1 ⇒ b^2 < b ⇒ a < c
  • Ayrıca \frac{b}{1+b} < b ⇒ c < b
  • Birleştirince: a < c < b

Özet Tablosu

Değişken İfade Karşılaştırma
a \,\displaystyle\frac{b^2}{1+b}\, En küçük
c \,\displaystyle\frac{b}{1+b}\, Orta
b — En büyük

SSS

S1. Neden b^2<b ise a<c olur?
C1. Çünkü a/b = b/(1+b) olduğundan 0 < b < 1 iken b/(1+b)<1 çıkar.

S2. Başka bir aralıkta (örneğin b>1) bu sonuç değişir mi?
C2. Evet; eğer b>1 olsaydı b^2>b ve sıralama değişirdi.

S3. Bu yöntem her a+ c=b, a=bc ilişkisi için geçerli mi?
C3. Sadece 0 < b < 1 aralığında yukarıdaki adımlar doğrudur.

S4. Sıralamayı kontrol etmek için doğrudan sayısal değer koyabilir miyiz?
C4. Örneğin b=0.5 için a=0.25/1.5≈0.167, c=0.5/1.5≈0.333 ⇒ 0.167<0.333<0.5.

Bu konu ile ilgili 3 tane benzer alıştırma çözmek ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli