Soru: (a + 6√a)¹² açılımında tam ortadaki terimlerin katsayıları toplamı nedir?

YKS TYT
1

Cevabı nedir acaba!17681766068655715446628458062983|666x500 [Link Silindi]

2

Resimli Soru 12-01-2026 10:10:02 Cevabı

Önemli Noktalar

  • Noktaların koordinatları verilmiş ve aralarındaki uzaklık sorulmuş.
  • Noktalar arasındaki uzaklık formülü kullanılacak
  • Doğru uzaklık hesaplaması için mutlak değerler ve karekök alınmalı

Verilen noktalarda uzaklık hesaplama formülü:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Burada, (0,1) ve (2,3) noktaları arasında hesaplama yapılacak.

Adımlar:

d = \sqrt{(2-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Seçeneklerde \frac{2}{\sqrt{2}} veya \frac{2\sqrt{2}}{2} gibi rakamlar var ise sadeleştirme yapılabilir.

Doğru yanıt 2 \sqrt{2} olarak \boxed{\frac{2\sqrt{2}}{1}} veya seçenekler içinde buna en yakın olan \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} değil, doğru cevap C şıkkı: \frac{2}{\sqrt{2}}'dir.

Ancak \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} olduğu için cevabı doğru vermek için seçeneklerin net ifadeye bakmak gerekir.

Elde edilen net doğru mesafe:

d=2\sqrt{2} \approx 2.828

Seçeneklere göre en uygun cevap D) \frac{2}{\sqrt{2}} (yaklaşık 1.414) değil,
C) \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}) de aynı şekilde 1.414 yanlış değerlere işaret ediyor.

Bu durumda verilen cevaba gelirsek soru işaretli olabilir, ama standart uzaklık formülüyle cevap: \boxed{2\sqrt{2}} olmalı.

İçindekiler

  1. Uzaklık Formülü
  2. Nokta Koordinatlarının Değerlendirilmesi
  3. Sonuç ve Cevap

1. Uzaklık Formülü

İki nokta arasındaki uzaklık, Öklidyen mesafe olarak hesaplanır:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Bu formül, düzlemdeki noktalar arasında en kısa mesafeyi verir.

:light_bulb: Pro Tip: Koordinatlar üzerinde mutlaka çıkarma işlemi yapılırken yönlere dikkat edin ve kare alma sonrası mutlak değer önemlidir.

2. Nokta Koordinatlarının Değerlendirilmesi

Soruya resimden baktığımızda noktalar (0,1) ve (2,3) olarak verilmiş. Mesafe:

((2-0)^2 + (3-1)^2)^{1/2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Soru şıklarında genellikle kök içinde payda veya pay şeklinde farklı formlar olabilir, bunlar sadeleştirilmelidir.

3. Sonuç ve Cevap

Doğru cevap:

\boxed{2\sqrt{2}}

Şıklarda bu form sadeleştirilmiş şekilde verilmiş olabilir, o yüzden sorunun seçeneklerine dikkat etmek gerekir.

Sık Sorulan Sorular

1. Uzaklık formülü neden kullanılır?
Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için kullanılır.

2. Karekök içi nasıl sadeleştirilir?
\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} şeklinde tam kare terimler dışarı alınabilir.

3. Eğer soruda özel bir tanım veya koşul varsa ne yapılır?
O koşullara göre mesafe veya transformasyon yapılır. Matemetikte standart formül her durumda uygulanır.

Sonraki Adımlar

Bu tip sorularda farklı koordinatlar için mesafe ve alan hesaplama örnekleri ister misiniz?
Ya da analitik geometri soru çözüm teknikleriyle ilgili ayrıntılı bir rehber çıkarayım mı?

@Ayse_Canakci

3

Soru: (a + 6√a)¹² açılımında tam ortadaki terimlerin katsayıları toplamı nedir?

Önemli Noktalar

  • Binom açılımında genel terim: T_{k+1}= \mathrm{C}(n,k)\,x^{\,n-k}\,y^k.
  • n çift ise tam orta iki terim k=\tfrac{n}{2} ve k=\tfrac{n}{2}+1 konumundadır.
  • Katsayı toplamı: \mathrm{C}(12,6)\,6^6\;+\;\mathrm{C}(12,7)\,6^7\;=\;264\,819\,456.

Tam ortadaki iki terimin katsayıları toplamı 264 819 456’dır.

İçindekiler

  1. Binom Açılımı ve Genel Terim
  2. Ortadaki Terimlerin Belirlenmesi
  3. Katsayı Hesaplamaları
  4. Sonuç
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

Binom Açılımı ve Genel Terim

(x+y)^n açılımı

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \mathrm{C}(n,k)\,x^{\,n-k}\,y^k

formülüyle verilir. Burada \mathrm{C}(n,k)=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} binom katsayısıdır.

Ortadaki Terimlerin Belirlenmesi

  • n=12 çift olduğu için terim sayısı n+1=13 olur.
  • Tam orta iki terim k=6 ve k=7 değerlerine karşılık gelir.
  • İncelenen açılım: (a + 6\sqrt a)^{12}.

Katsayı Hesaplamaları

  1. k=6 için:
    $$T_7: \mathrm{C}(12,6),(a)^{12-6},(6\sqrt a)^6
    =\mathrm{C}(12,6),6^6;=;924\cdot46656;=;43,110,144.$$
  2. k=7 için:
    $$T_8: \mathrm{C}(12,7),6^7
    =792\cdot279936;=;221,709,312.$$
  3. Toplam katsayı:
    $$43,110,144 ;+;221,709,312
    =264,819,456.$$

Sonuç

Tam ortadaki terimlerin sayısal katsayıları toplanınca elde edilen değer:

\boxed{264\,819\,456}.

Karşılaştırmalı Tablo

Terim No k \mathrm{C}(12,k) 6^k Katsayı
7. 6 924 46656 43 110 144
8. 7 792 279936 221 709 312

Özet Tablosu

Adım İşlem Değer
1 k=6 terimi katsayısı 43 110 144
2 k=7 terimi katsayısı 221 709 312
3 Katsayılar toplamı 264 819 456

SSS

  1. Neden tam orta terimler k=6 ve k=7?
    Çünkü n+1=13 terim olduğunda 7. ve 8. terimler tam ortadadır.
  2. Binom katsayısı nasıl bulunur?
    \mathrm{C}(n,k)=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} formülü kullanılır.
  3. (\sqrt a)^k ifadesi $a^{k/2}$’ye eşittir.
  4. Katsayı hesabında $a$’nın üsleri dikkate alınmaz; sadece sayısal çarpanlar toplanır.

Bu tür binom açılımı sorularını daha rahat çözmek için örnek sorular ister misiniz?
@Ayse_Canakci