Soru 9 b

Sorumatik Kullanımı
,
1

image

2

Soru 9 b: Aşağıdaki şekilde kenarlarının uzunlukları sin x ve cos x birim olmak üzere bir dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin çevresi \frac{12}{5} birim olduğuna göre, alanı kaç birimkaredir?

Çözüm:

Dikdörtgenin kenar uzunlukları:

  • Bir kenar: \sin x
  • Diğer kenar: \cos x

Dikdörtgenin çevresi formülü:
Çevre = 2(\sin x + \cos x)

Verilen çevre:
2(\sin x + \cos x) = \frac{12}{5}

Buradan:
\sin x + \cos x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

Amaç: Dikdörtgenin alanını bulmak.

Alan formülü:
Alan = \sin x \cdot \cos x

Adım 1: \sin x + \cos x ifadesinden \sin x \cdot \cos x ifadesini bulmak

Hatırlayalım:
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x

Ama \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan:
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x

Verilen değeri yerine koyarsak:
\left(\frac{6}{5}\right)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x

\frac{36}{25} = 1 + 2 \sin x \cos x

Buradan:
2 \sin x \cos x = \frac{36}{25} - 1 = \frac{36}{25} - \frac{25}{25} = \frac{11}{25}

Son olarak:
\sin x \cos x = \frac{11}{50}

Sonuç:

Dikdörtgenin alanı:
\boxed{\frac{11}{50}}

Doğru cevap: E şıkkı

Özet Tablosu

Bilgi Değer
Dikdörtgenin çevresi \frac{12}{5}
\sin x + \cos x \frac{6}{5}
(\sin x + \cos x)^2 \frac{36}{25}
\sin^2 x + \cos^2 x 1
2 \sin x \cos x \frac{11}{25}
\sin x \cos x (Alan) \frac{11}{50}

Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! @Zeynep_Bozkurt2

3

Question:

Aşağıdaki şekilde kenar uzunlukları \sin x ve \cos x birim olmak üzere bir dikdörtgen verilmiştir.
Bu dikdörtgenin çevresi \displaystyle \frac{12}{5} birim olduğuna göre, alanı kaç birimkaredir?
Seçenekler:
A) \frac{3}{5}
B) \frac{5}{9}
C) \frac{9}{16}
D) \frac{11}{25}
E) \frac{11}{50}

Table of Contents

  1. Problemin Anlaşılması
  2. Temel Trigonometri Bilgisi
  3. Çözüm Adımları
    3.1 Çevre İfadesinin Yazılması
    3.2 Trigonometri Kimliği ile İlerleme
    3.3 Alan Hesabı
  4. Alternatif Yaklaşım
  5. Sonuç ve Değerlendirme
  6. Özet Tablo

1. Problemin Anlaşılması

Elimizde iki kenarı \sin x ve \cos x birim olan bir dikdörtgen var.

  • Dikdörtgenin çevresi P = 2(\sin x + \cos x) formülüyle bulunur.
  • Soruda P = \tfrac{12}{5} birim olduğu verilmiş.
  • İstenen, dikdörtgenin alanı A = (\sin x)\times(\cos x) değeridir.

2. Temel Trigonometri Bilgisi

Trigonometriye ait kritik iki özdeşlik (kimlik) bu soruda kullanılacaktır:

  1. Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı her zaman 1’dir:
    \sin^2 x + \cos^2 x = 1
  2. Toplamın karesi açılımı:
    (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\,\sin x \cos x
    Buradan
    (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x

olduğu çıkar.

3. Çözüm Adımları

3.1 Çevre İfadesinin Yazılması

Dikdörtgenin çevresi
P = 2(\sin x + \cos x)
olduğuna göre,
2(\sin x + \cos x) = \frac{12}{5}
eşitliğinden
\sin x + \cos x = \frac{6}{5}
elde edilir.

3.2 Trigonometri Kimliği ile İlerleme

Kimliklere dönerek
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x
ifadeyi kullanırsak:
\left(\frac{6}{5}\right)^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x
\frac{36}{25} = 1 + 2\,\sin x \cos x
2\,\sin x \cos x = \frac{36}{25} - 1 = \frac{36}{25} - \frac{25}{25} = \frac{11}{25}
Böylece
\sin x \cos x = \frac{11}{50}
sonucuna ulaşırız.

3.3 Alan Hesabı

Dikdörtgenin alanı
A = (\text{uzun kenar}) \times (\text{kısa kenar}) = \sin x \cdot \cos x
olarak tanımlıdır. Bu da yukarıda bulduğumuz değere eşittir:
\boxed{\frac{11}{50}}

4. Alternatif Yaklaşım

Başka bir bakış açısı olarak,

  • Önce t = \sin x + \cos x diyelim.
  • Çevre bilgisinden t = \tfrac65 bulunur.
  • Kimlikten t^2 = 1 + 2\,\sin x \cos x ile \sin x\cos x değeri doğrudan çıkar.
  • Sonra alan formülüne uygularız.

Bu yöntem de aynı adımları içerdiği için sonucu değiştirmez, ama değişken tanıtma kalabalığı azaltabilir.

5. Sonuç ve Değerlendirme

  • Çevrenin \tfrac{12}{5} olması, kenar toplamının \tfrac65 olmasını sağladı.
  • Temel trigonometrik kimliklerle \sin x \cos x kolayca hesaplandı.
  • Elde edilen \tfrac{11}{50} değeri seçenekler arasında E şıkkı’na karşılık gelir.

Doğru cevap: E) \displaystyle \frac{11}{50}

6. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Çevre formülü 2(\sin x + \cos x)=\tfrac{12}{5} \sin x+\cos x=\tfrac{6}{5}
2. Kimlik uygulaması (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x 2\sin x\cos x=\tfrac{11}{25}
3. Alan hesabı A=\sin x\cos x \tfrac{11}{50}

Alan \displaystyle \frac{11}{50} birimkaredir. @Zeynep_Bozkurt2