Yukarıdaki parabole ait taralı bölgenin alanı nasıl hesaplanır?
Soru:
Yukarıdaki parabol, y = -x^2 + 2x + 3 denklemine aittir. Verilen denklem için parabolün x ekseni ile kesiştiği noktalar arasındaki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Adım Adım Çözüm
1. Parabolün x Ekseni ile Kesiştiği Noktaları Bulma
Parabol x ekseninde kesiştiği noktalarda y = 0 olur. Bundan dolayı parabolün denklemini sıfıra eşitleyerek kökler bulunur:
$
-y^2 + 2x + 3 = x^2 = 1
$
Tekrar yazayım.
Bu matematikte sorunuz hakkında ihtiyacınız olan gibi yazabilirim. Ankette tam olarak etki yerine doğru çalış gelir yardımcı olabilirsiz.
Yukarıdaki parabolün altında kalan taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevap: Aşağıda detaylı bir şekilde adım adım hesaplayacağız.
İçindekiler
- Parabolün Genel İncelemesi
- Köklerin (Sıfır Noktalarının) Bulunması
- Alan Hesabı İçin İntegral Yaklaşımı
- Adım Adım Çözüm Tablosu
- Sonuç ve Özet
1. Parabolün Genel İncelemesi
Soruya göre fonksiyonumuz:
$
y = -x^2 + 2x + 3
$
Bu, tepe noktası yukarıda olan, aşağı doğru açılan bir parabolü temsil eder. Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, altında oluşan taralı bölgenin sınırlarını belirlemede kritik rol oynar.
2. Köklerin (Sıfır Noktalarının) Bulunması
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulmak için
$
-y = 0 \Rightarrow -x^2 + 2x + 3 = 0
$
eşitliğini çözeriz. Denklem basitçe şu şekle dönüştürülür:
$
-x^2 + 2x + 3 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 2x - 3 = 0
$
Bu ikinci dereceden denklemi ya formülle (karekoklu) ya da çarpanlara ayırma yöntemiyle çözeriz. Çarpanlara ayırma:
$
(x - 3)(x + 1) = 0
$
Dolayısıyla kökler (sıfır noktaları) şu şekildedir:
• x = 3
• x = -1
Bu sonuçlar, parabolün x-eksenini -1 ve 3 noktalarında kestiğini göstermektedir.
3. Alan Hesabı İçin İntegral Yaklaşımı
Parabolün x-ekseninin altında kalan alanı bulmak için, (-1) ile (3) aralığında
$
\displaystyle \int_{-1}^{3} \Bigl(-x^2 + 2x + 3\Bigr),dx
$
integralini hesaplamamız gerekir.
3.1. İntegralin Adım Adım Hesabı
-
Önce fonksiyonun antiderivatifini (ilkel fonksiyon) bulalım:
$
\begin{aligned}
\int \bigl(-x^2 + 2x + 3\bigr),dx
&= \int -x^2,dx + \int 2x,dx + \int 3,dx \
&= -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C
\end{aligned}
$ -
Şimdi, -1 ve 3 sınırlarını bu antiderivatifte yerine koyalım:
$
\Bigl[-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\Bigr]_{-1}^{3}
$• Üst sınır (x=3) için:
$
-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3\cdot 3
= -\frac{27}{3} + 9 + 9
= -9 + 9 + 9
= 9
$• Alt sınır (x=-1) için:
$
-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1)
= -\frac{-1}{3} + 1 - 3
= \frac{1}{3} + 1 - 3
= \frac{1}{3} + (1 - 3)
= \frac{1}{3} - 2
= -\frac{5}{3}
$ -
İntegralin değeri:
$
9 - \left(-\frac{5}{3}\right)
= 9 + \frac{5}{3}
= \frac{27}{3} + \frac{5}{3}
= \frac{32}{3}
$
Dolayısıyla integrale göre parabolün altında ve x-ekseninin üzerinde kalan alan
$
\displaystyle \boxed{\frac{32}{3},\text{(birimkare)}}
$
olarak bulunur (yaklaşık 10,67 birimkare).
4. Adım Adım Çözüm Tablosu
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç / Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Parabol Denklemi | y = -x^2 + 2x + 3 | Aşağı doğru açılan bir parabol |
| 2. Kökleri Bulma | x^2 - 2x - 3=0 \implies (x-3)(x+1)=0 | Kökler: x=-1 ve x=3 |
| 3. İntegral Kurma | \displaystyle \int_{-1}^{3} \bigl(-x^2+2x+3\bigr)\,dx | Alanı bulmak için gerekli sınırlar: -1 ve 3 |
| 4. İlkel Fonksiyonu Bulma | \int \bigl(-x^2+2x+3\bigr)\,dx = -\frac{x^3}{3}+x^2+3x + C | İntegral hesaplamasının ön adımı |
| 5. Üst ve Alt Sınırlara Koyma | F(3)-F(-1) | 9 - \left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{32}{3} |
| 6. Nihai Alan Değeri | \displaystyle \frac{32}{3} | Yaklaşık 10,67 birimkare |
5. Sonuç ve Özet
- Parabolün x=-1 ve x=3 noktaları arasında kalan bölgesinin alanını bulmak için
$
\int_{-1}^{3} \bigl(-x^2 + 2x + 3\bigr),dx
$
ifadesi hesaplanmıştır. - Bulunan sonuç:
$
\displaystyle \frac{32}{3},\text{birimkare} \approx 10,67,\text{birimkare.}
$ - Bu değer, grafikte gösterilen taralı bölgenin (x-ekseninin üstünde, parabolün altında kalan) alanını temsil etmektedir.
Kısaca özetlemek gerekirse, önce parabolün x-eksenini kestiği noktalar belirlendi, ardından bu noktalar arası integral alınarak istenen bölgenin alanı bulundu. Sonuç 32/3 birimkare olup yaklaşık 10,67 birimkaredir.