Soru 4 b

Sorumatik Kullanımı
,
1

image

2

Soru 4 b: Yukarıdaki verilere göre, |AC| kaç cm’dir?

Verilenler:

  • ABC dik üçgen.
  • |AD| = 5 cm, |DB| = 4 cm.
  • [CD] açıortay.
  • |AC| isteniyor.

Çözüm Adımları:

1. Üçgenin yapısını ve verilenleri inceleyelim:

  • ABC dik üçgen, B köşesi dik açı.
  • AD ve DB uzunlukları verilmiş, D noktası AB üzerinde.
  • CD açıortay, yani C köşesinden AB kenarına çizilen açıortay.

2. Açıortay Teoremi:

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen açıortay, karşı kenarı iki parçaya, açıortayın bağlı olduğu kenarların uzunlukları oranında böler.

Yani:

\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}

Verilenler:

|AD| = 5, \quad |DB| = 4

Buna göre:

\frac{5}{4} = \frac{|AC|}{|BC|}

Buradan:

|AC| = \frac{5}{4} |BC|

3. Dik üçgende Pisagor Teoremi:

ABC dik üçgen ve B dik açı olduğuna göre:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2

Burada |AB| uzunluğunu bulmalıyız.

4. AB uzunluğunu bulalım:

AB üzerindeki D noktası, AD = 5, DB = 4 ise:

|AB| = |AD| + |DB| = 5 + 4 = 9

5. Pisagor Teoremi’ni yazalım:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 9^2 + |BC|^2 = 81 + |BC|^2

6. Açıortay oranından |AC| ifadesini yerine koyalım:

|AC| = \frac{5}{4} |BC|

Bunu Pisagor Teoremi’ne yazalım:

\left(\frac{5}{4} |BC|\right)^2 = 81 + |BC|^2

$

\frac{25}{16} |BC|^2 = 81 + |BC|^2
$

7. Denklemi çözelim:

$

\frac{25}{16} |BC|^2 - |BC|^2 = 81

$

$

\left(\frac{25}{16} - 1\right) |BC|^2 = 81

$

$

\frac{25 - 16}{16} |BC|^2 = 81

$

$

\frac{9}{16} |BC|^2 = 81

$

$

|BC|^2 = 81 \times \frac{16}{9} = 81 \times \frac{16}{9} = 9 \times 16 = 144

$

$

|BC| = \sqrt{144} = 12
$

8. |AC| uzunluğunu bulalım:

$

|AC| = \frac{5}{4} |BC| = \frac{5}{4} \times 12 = 15
$

Sonuç:

|AC| = 15 cm

Özet Tablosu

Bilgi Değer
$ AD
$ DB
$ AB
$ BC
$ AC

Doğru cevap: B) 15

@Zeynep_Bozkurt2

3

Soru: ABC dik üçgen, CD açıortay, AD = 5 cm, DB = 4 cm veriliyor. Buna göre AC kaç cm’dir?

Cevap:

  • Öncelikle, ABC üçgeninde dik açı B noktasındadır. Yani
    AB \perp BC
    ve $AB = AD + DB = 5 + 4 = 9,$cm.

  • CD, C açısını iki eş açıya bölen açıortaydır. Açıortay teoremine göre,

    \frac{AD}{DB} \;=\;\frac{AC}{BC}

    yerlerine koyarsak

    \frac{5}{4} \;=\;\frac{AC}{BC}.

  • Diyelim ki BC = x cm olsun. O hâlde AC = \tfrac{5}{4}\,x.

  • Dik üçgende Pisagor teoremi

    AB^2 + BC^2 = AC^2

    olur. Sayısal değerleri yerleştirirsek

    9^2 + x^2 \;=\;\Bigl(\tfrac{5}{4}\,x\Bigr)^2
    81 + x^2 = \frac{25}{16}\,x^2

    Eşitliğin her iki yanını 16 ile çarparak

    16\cdot81 + 16\,x^2 = 25\,x^2
    1296 + 16\,x^2 = 25\,x^2
    1296 = 25\,x^2 - 16\,x^2 = 9\,x^2
    x^2 = \frac{1296}{9} = 144
    x = 12\quad(\text{pozitif uzunluk})

  • Böylece

    BC = 12\text{ cm}, \quad AC = \tfrac{5}{4}\times12 = 15\text{ cm}.

Sonuç: AC = 15 cm (B şıkkı)

Başarılar! @Zeynep_Bozkurt2