Soru: 4^{2x} - 13\cdot2^x + 40 = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 olup x_1 = a - x_2 olduğuna göre, a hangi aralıktadır?
Temel Noktalar
- Denklemde t = 2^x ikame edilerek kuadratik denklem elde edilir.
- Çözülen kuadratik denklemden t_1 = 8 ve t_2 = 5 bulunur.
- Bu değerler sırasıyla x_1 = 3 ve x_2 = \log_2 5 sonuçlarını verir.
Doğru Cevap
a = x_1 + x_2 = 3 + \log_2 5 \approx 5{,}3219, dolayısıyla
5 < a < 6.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- İkame: t = 2^x alalım (t>0). Denklem4^{2x} - 13\cdot2^x + 40 = 0yerine(2^x)^2 - 13\cdot(2^x) + 40 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - 13t + 40 = 0
- Kökler:t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4\cdot1\cdot40}}{2} = \frac{13 \pm 3}{2} \;\Rightarrow\; t_1 = 8,\; t_2 = 5
- x değerleri:2^{x_1} = 8 \;\Rightarrow\; x_1 = 3, \quad 2^{x_2} = 5 \;\Rightarrow\; x_2 = \log_2 5
- a değeri:x_1 = a - x_2 \;\Rightarrow\; 3 = a - \log_2 5 \;\Rightarrow\; a = 3 + \log_2 5 \approx 5{,}3219Sonuç olarak 5 < a < 6’dır.
Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Kuadratik denkleme ikame | t = 2^x | t^2 - 13t + 40 = 0 |
| t kökleri | — | t_1 = 8,\; t_2 = 5 |
| x kökleri | 2^x = t_i | x_1 = 3,\; x_2 = \log_2 5 |
| a değeri | x_1 = a - x_2 | a = 3 + \log_2 5 \approx 5{,}3219 |
SSS
S1. Neden t = 2^x ikamesi yapıldı?
C: Üssel ifadeyi kuadratik forma dönüştürmek için.
S2. \log_2 5 değeri yaklaşık ne kadardır?
C: \log_2 5 \approx 2{,}3219.
S3. Bu yöntem her zaman geçerli mi?
C: Temel olarak a^{2x} ve a^x terimleri bir arada ise ve terimler orantılıysa uygulanır.
S4. 2^x fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
C: Gerçek sayılar \mathbb{R}.
Birlikte daha zor üs-denklemi soruları çözmek ister misin?
@Jelly
Resimli Soru 17-01-2026 17:13:36 Çözümü
Önemli Noktalar
- Denklemin kökleri x_1 ve x_2 olup x_1 = a - x_2 verilmiş
- Denklemi 4^x - 13 \cdot 2^x + 40 = 0 olarak yazıp, 2^x = t değişken dönüşümü yapılabilir
- Karar ve toplam çarpım formülleri kullanılarak a aralığı bulunabilir
4^x yerine (2^x)^2 = t^2 yazarsak:
Bu ikinci dereceden denklemin kökleri t_1, t_2 olup:
- Toplam t_1 + t_2 = 13
- Çarpım t_1 \times t_2 = 40
Verilen kök ilişkisi:
Buradan x_1 + x_2 = a. Ayrıca x_1, x_2 denklemin kökleri olduğuna göre, köklerin toplamı ve çarpımı standart formdan bulunabilir. Ancak verilen denklem 4^x - 13 \cdot 2^x + 40=0 iken x değişkeni yerine 2^x = t alındı.
Yani kökler t_1, t_2 ve t_i = 2^{x_i}.
Buradan:
x_1 = a - x_2 olduğuna göre:
Burada 2^{x_2} = t_2, 2^{-x_2} = \frac{1}{t_2}, o halde:
Bunu t_2 için fonksiyon olarak düşünelim:
t_2 > 0 olduğundan f(t_2) \geq 2 \sqrt{2^{a}} (AM-GM eşitsizliği).
Yani:
a \leq \log_2 42.25
\log_2 32 = 5, \log_2 64 = 6, 42.25 bunların arasında.
Daha hassas hesap:
Böylece a \leq 5.4 gereklidir.
Ayrıca f(t_2) = 13 eşitliği için eşitlik durumu AM-GM’de t_2 = \sqrt{2^{a}}. Bu kök t_2 denklemi sağlamalı ve köklerin reel olması için diskriminant pozitif olmalı.
Sonuç olarak a değeri 5 < a < 6 aralığındadır.
İçindekiler
- Denklemin Dönüşümü ve Kökler
- Kökler Arasındaki İlişki ve AM-GM Uygulaması
- Karşılaştırma Tablosu: Benzer Kök Problemleri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Denklem Dönüşümü ve Kökler
Verilen denklemi 4^x - 13 \cdot 2^x + 40 = 0 olarak yeniden yazarak 2^x = t değişken dönüşümü yapıyoruz:
Bu ikinci derece denklem t için kökler t_1, t_2 bulunur:
- t_1 + t_2 = 13
- t_1 t_2 = 40
Buradan t_1, t_2 > 0 olmalıdır çünkü t=2^x pozitif.
Pro Tip: Üstel ifadelerde değişken dönüşümü yapmak denklemi polinom haline getirir ve çözümü kolaylaştırır.
Kökler Arasındaki İlişki ve AM-GM Uygulaması
Verilen kökler ilişkisi x_1 = a - x_2. Köklerin toplamı:
Buna karşılık t_1 = 2^{x_1}, t_2=2^{x_2} olduğundan,
Yerine yazarsak:
Yukarıda t_2 > 0, fonksiyon f(t_2) = t_2 + \frac{2^a}{t_2} = 13. AM-GM eşitsizliği ile:
Buradan:
Bu da şu demek:
Ayrıca verilen seçenekleri değerlendirdiğimizde a değeri 5 ile 6 arasında olmalıdır.
Uyarı: Köklerin reelliği ve pozitifliği çok önemlidir, negatif veya karmaşık sayı durumlarında işlem hataları olabilir.
Karşılaştırma Tablosu: Kök İlişkileri ve Üstel Denklemler
| Konsept | Klasik İkinci Derece Denklem | Üstel Denklem (Bu Soru) |
|---|---|---|
| Değişken Dönüşümü | Yok | 2^x = t |
| Köklerin Toplamı | x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} | t_1 + t_2 = 13 |
| Kökler Arası İlişki | Genelde x_1 = a - x_2 | Aynı formül kullanılır; dönüşüm dikkatli yapılmalı |
| Pozitiflik Koşulu | Her zaman sağlanmaz | 2^x > 0 |
| Çözüm Yöntemi | Diskriminant ve formüller | AM-GM ve logaritma hesapları |
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklem dönüşümü | 4^x = (2^x)^2 = t^2 | t^2 - 13t + 40 = 0 |
| Kökler toplamı | t_1 + t_2 = 13 | Pozitif sayılar |
| Kökler ilişkisi | x_1 = a - x_2 | x_1 + x_2 = a |
| AM-GM uygulaması | t_2 + \frac{2^a}{t_2} \geq 2 \sqrt{2^a} | 13 \geq 2 \sqrt{2^a} |
| Sonuç | a \leq \log_2 42.25 \approx 5.4 | 5 < a < 6 seçeneği doğru |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden 2^x = t değişken dönüşümü yapıldı?
Üstel ifade çözümlerinde 2^x gibi ifadeler polinom haline getirilmeli ki klasik ikinci dereceden denklem çözüm yöntemleri kullanılabilsin.
2. AM-GM eşitsizliği bu problemde nasıl uygulanır?
Pozitif iki sayı t_2 ve \frac{2^a}{t_2} için aritmetik ortalama en az geometrik ortalama kadardır. Bu eşitsizlik denklemin sağ tarafı ile ilişkiyi sağlar.
3. Köklerin toplamını nasıl bulduk?
Verilen x_1 = a - x_2 denklemiyle, x_1 + x_2 = a bulunmuştur.
4. Seçenekler neden 5 < a < 6 aralığında doğru çıktı?
Hesaplanan a üst sınırı yaklaşık 5.4 çıkmıştır ve seçenekler içinde en uygun aralık budur.
5. Denklemin kökleri x_1, x_2 gerçek midir?
Evet, t^2 - 13t + 40=0 denkleminin diskriminantı pozitiftir, dolayısıyla t_1, t_2 reel ve pozitif, x_1, x_2 reel sayılar olur.
Sonraki Adımlar
Bu tarz üstel denklem problemlerinde kök ilişkileri nasıl değişir görmek ister misiniz? Ya da AM-GM eşitsizliği kullanarak başka denklemleri nasıl çözeriz? Size adım adım çözüm rehberi hazırlayabilirim.