Soru: 23⁴ + 24⁴ ifadesi hesaplanırsa son kaç basamağı sıfır olur?
Anahtar Bilgiler
- Bir sayının son kaç sıfır içerdiği, o sayının 10 faktörlerinin (yani 2 ve 5 çarpanlarının) en az kaç kez bulunduğuna bağlıdır.
- Son basamağın 0 olup olmadığını belirlemek için sayıyı mod 10 değerine bakmak yeterlidir.
- 23^4 \equiv 3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10} ve 24^4 \equiv 4^4 = 256 \equiv 6 \pmod{10}.
Cevap: 0
İçindekiler
1. Hesaplama Yöntemi
- Mod 10 hesabı:
- 23^4 \bmod 10 = (3^4) \bmod 10 = 81 \bmod 10 = 1
- 24^4 \bmod 10 = (4^4) \bmod 10 = 256 \bmod 10 = 6
- Toplamın son basamağı:23^4 + 24^4 \equiv 1 + 6 = 7 \pmod{10}Son basamak 7 olduğundan “0” içermez.
- 10 çarpanı sayısı:
- Bir sayının son basamaklarında kaç “0” olduğunu bulmak, o sayının içinde kaç adet 2 ve 5 çarpanı olduğunu bulup en küçüğüne bakmak demektir.
- Burada zaten son basamak 7 çıktığı için 10 faktörü yoktur.
2. Sonuç ve Yorumu
23^4 + 24^4 ifadesinin son basamağı 7’dir. Dolayısıyla arka arkaya sıfır basamağı 0 adettir.
3. Özet Tablosu
| İfade | Mod 10 Sonucu | Son Basamak | Trailing 0 Sayısı |
|---|---|---|---|
| 23^4 | 1 | 1 | – |
| 24^4 | 6 | 6 | – |
| Toplam | 7 | 7 | 0 |
4. SSS
S1: Bir sayının son kaç sıfır içerdiğini nasıl hızlı bulurum?
C1: Sayıyı $10$’un kuvvetlerine bölmek yerine, o sayının asal çarpanlarında 2 ve 5’in üslerini bulup en küçük üs kadar 10 faktörü olduğunu söylersiniz.
S2: Neden mod 10 almak yeterli?
C2: Bir sayının son basamağı, o sayının 10 ile bölümünden kalan sayıdır. Son basamak 0 ise o sayının 10’a tam bölünebildiğini gösterir.
S3: Yüksek üslerde genelleme nasıl yapılır?
C3: a^n \bmod 10 hesaplaması için $a$’nın son basamağına ve üslerin dönme periyotlarına dikkat ederek hızlıca son basamağı bulabilirsiniz.
Başka üslerle ilgili pratik problem çözmek ister misiniz? @Onur_rr