Soru: 2123 − 2122 + 2121 − 2120 + … − 1872 işleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

1000096069
1000096069720×960 30 KB

2

2123 - 2122 + 2121 - 2120 + … - 1872 işleminin sonucu kaçtır?

Önemli Noktalar

  • İşlemde ardışık sayılar arasında art arda toplama ve çıkarma yapılmaktadır.
  • İşlem 2123’ten başlayarak 1872’ye kadar devam etmektedir.
  • Bu tür sorularda terimler çiftler halinde gruplanabilir ve dikkatle işaretlenmelidir.

Verilen işlem şu şekildedir:
2123 - 2122 + 2121 - 2120 + 2119 - 2118 + … + 1873 - 1872

Buradaki düzenli toplama ve çıkarma işlemi, her seferinde; bir sayı çıkarılıyor, bir sonraki sayı toplanıyor.

Çözüm Adımları:

  1. İşlemi iki terimlik gruplara ayıralım:
    (2123 - 2122) + (2121 - 2120) + (2119 - 2118) + … + (1873 - 1872)

  2. Her grup için sonuç:
    2123 - 2122 = 1
    2121 - 2120 = 1
    2119 - 2118 = 1
    …
    Her grubun sonucu 1’dir.

  3. Şimdi, kaç tane grup olduğunu bulalım:
    Başlangıç sayısı: 2123
    Bitiş sayısı: 1872

Toplam terim sayısı = 2123 - 1872 + 1 = 252 terim

Çünkü, 2123’ten 1872’ye kadar olan tüm sayılar sayılır.

  1. kaç tane grup var?
    Her grup 2 terimden oluştuğuna göre, grup sayısı = 252 / 2 = 126 grup

  2. Toplam sonuç:
    Her grubun sonucu 1 ise, toplam sonuç = 126 * 1 = 126

Sonuç:

İşlemin sonucu 126’dır. Yani doğru seçenek D şıkkıdır.

İçindekiler

  1. İşlemin Analizi
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

İşlemin Analizi

İşlem 2123’ten başlayıp 1872’ye kadar azalan ardışık tam sayılarla verilir. İşlemin yapısı şu şekildedir:

  • İlk sayı (+)
  • İkinci sayı (-)
  • Üçüncü sayı (+)
  • Dördüncü sayı (-)
    … şeklinde devam eder.

Bu tarz işlemler çift terim grupları şeklinde incelenebilir. Her grupta iki terim vardır: biri çıkarılan, diğeri toplanan.

:warning: Uyarı: İşlem uzun olduğu için tüm terimleri tek tek toplamak yerine gruplama yöntemi kullanmak hata yapmayı önler.

Adım Adım Çözüm

Adım Açıklama Sonuç
1 Toplam terim sayısı: 2123 - 1872 + 1 = 252 252
2 Terimler çiftler halinde gruplanır: (2123 - 2122) + (2121 - 2120) + … Grup sayısı = 252 / 2 = 126
3 Her çiftin sonucu 1 (Çift sayıdan 1 eksik olan tek sayı çıkartılıyor) 1
4 Grupların toplamı = 126 * 1 = 126 126

:light_bulb: Pro Tip: Bu tür ardışık sayıların toplama-çıkarma işlemlerinde grup yöntemi hayat kurtarır.

Özet Tablo

Unsur Değer
Toplam terim sayısı 252
Grup sayısı (2’li) 126
Her grubun net sonucu 1
Sonuç 126

Sık Sorulan Sorular

1. Neden iki terim bir grupta toplandı?

Çünkü işlem bir sayı çıkarılıp bir sayı toplandığı için iki terim bir mantıklı toplama-çıkarma birimidir. Böylece her grubun net etkisi kolayca bulunur.

2. Toplam terim sayısı nasıl hesaplanır?

Son sayı dahil olmak üzere terim sayısı = Başlangıç sayısı - Bitiş sayısı + 1 şeklindedir.

3. Eğer terim sayısı tek olsaydı ne olurdu?

Son terim tek sayı sayısı çıkarsa bu terim ayrıca toplanır ya da çıkarılır; işlem ona göre düzenlenir.

Sonraki Adımlar

Bu tür ardışık sayı işlemlerinde farklı işaret dizilimleri nasıl çözülür görmek ister misiniz?
Ya da bu işlemi programlama ile otomatik hesaplama yöntemlerine geçelim mi?

@Selver_Onen

3

Soru: 2123 − 2122 + 2121 − 2120 + … − 1872 işleminin sonucu kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Terim sayısı: N = 2123 - 1872 + 1 = 252
  • Eşleştirme yöntemi ile oluşturulan her bir çiftin farkı 1’dir.
  • Çift sayıda terim olduğundan toplam, çift adedine eşittir.

İşlemin sonucu 126’dır.

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Detaylı Çözüm

Bu tür ardışık sayılar içeren artan-azalan işaretli toplamı hızlıca çözerken iki yöntem sık kullanılır: eşleştirme ve genel toplam formülü. Burada eşleştirme yöntemini tercih edeceğiz.

  1. Terim sayısını bulun:
    N = 2123 - 1872 + 1 = 252
  2. İşareti art–eksi olarak sıralayın:
    2123 - 2122,\;2121 - 2120,\;\dots,\;1873 - 1872
  3. Her bir çifti hesaplayın:
    2123 - 2122 = 1,\quad 2121 - 2120 = 1,\;\dots,\;1873 - 1872 = 1
  4. Toplam çift sayısı:
    \frac{N}{2} = \frac{252}{2} = 126
  5. Sonuç:
    \sum = 126 \times 1 = 126

Karşılaştırma Tablosu

Yöntem Temel Fikir Adım Sayısı
Eşleştirme Yöntemi Her pozitif ve negatif terimi çifte dönüştür. 2–3
Genel Toplam Formülü Aritmetik dizi toplamı formülünden yararlan. 3–4

Özet Tablosu

Kavram Değer
Başlangıç terimi 2123
Bitiş terimi 1872
Toplam terim sayısı 252
Her çiftin farkı 1
Çift sayısı 126
Toplam sonuç 126

SSS

S1. Terim sayısını neden 2123 - 1872 + 1 şeklinde bulduk?
C1. Bir aralıktaki hem başlangıç hem bitiş sayısını saymak için “fark + 1” kuralı kullanılır.

S2. Eşleştirme yöntemi her zaman geçerli mi?
C2. Terim sayısı çift ve işaretler düzenli arttı-azaldı biçimindeyse, eşleştirme her zaman doğrudur.

S3. Aritmetik dizi formülüyle nasıl çözeriz?
C3. İlk ve son terimi topladıktan sonra terim sayısının yarısıyla çarparsınız:

\frac{N}{2}\,(a_1 + a_N)

Ancak burada işaretler dönüşümlü olduğu için doğrudan eşleştirme daha pratiktir.

SSS’teki diğer sorular veya farklı örnekler istersen, belirtebilirsin!

Bu yöntemi kullanarak benzer soruları nasıl hızlandırabileceğini keşfetmek ister misin? @Selver_Onen