İşlemin Sonucu Kaçtır?
Önemli Noktalar
- Üslerin negatif kuvvet özellikleri kullanılarak ifadeler sadeleştirilir.
- Parantez içi işlemler önceliklendirilir ve üsler açılır.
- Payda ve paydaki ifadeler eşleştirilerek basit kesir işlemleri yapılır.
Verilen ifadeyi adım adım sadeleştirelim:
Adım 1: Üsleri Açalım
- 8^{\frac{1}{3}} = 2, çünkü 8 = 2^3 ve küpkökü 2’dir.
- (-27)^{\frac{1}{3}} = -3, çünkü -27 = (-3)^3 ve küpkökü -3’tür.
- 2^{\frac{3}{2}} = (2^{3})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Adım 2: Payı Hesaplayalım
Adım 3: Paydada \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} İfadesi
Negatif üs, ifadenin tersini alır:
Adım 4: Pay ve Payda Birleştirelim
İşlem:
Ancak Soruda ayrıca (3/2)^{-1} ifadesi var. Bu ifadenin nasıl dahil olduğu net değil. Metinde de \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} ve ayrıca \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} ifadesi anlatılmış.
Sorunun fotoğrafında üstteki “işlemin sonucu kaçtır?” ifadesi ve seçenekler yer alıyor. Bu durumda işlemi tam olduğu gibi tekrar hesaplayalım:
Tam ifade şu:
Bunu açarsak:
- İlk olarak,
- Sonra,
$$A \times \left(\frac{2}{3}\right)$$ (çünkü \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} = \frac{2}{3})
Yukarıda payı ve paydayı hesapladık: 8^{1/3} + (-27)^{1/3} -1 = -2, ve
\left(2^{3/2}\right)^{-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}};
Dolayısıyla,
Şimdi bu sonucu \frac{2}{3} ile çarp:
Bu sonuç seçeneklerde yok. Demek ki işlemin tamamı farklı bir ifade veya işlem muhtemelen farklı yorumlanıyor. Bu durumda, sorunun fotoğrafındaki ifadede yazan işlemi adım adım yazıp çözelim:
Fotoğraftaki İşlemin Açılması ve Çözümü:
İşlem:
fazlasıyla açık. Fakat basılı soru, el ile yazılmış bazı ek parantezler ve ifadeler içeriyor. Ayrıca yukarıdaki çözümden farklı olarak başka ifadeler de var.
Fotoğrafın yazılı kısmından tam analiz:
Soru:
Seçenekler:
A) -2
B) -1
C) \frac{1}{2}
D) 1
E) 2
Detaylı Çözüm:
-
8^{\frac{1}{3}} = 2
-
(-27)^{\frac{1}{3}} = -3
-
Pay: 2 + (-3) -1 = -2
-
Payda: (2^{\frac{3}{2}})^{-1}
- 2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
- Negatif üs ifadesi: (2\sqrt{2})^{-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}
- Tam işlem:
Bu sonuç seçeneklerde yok. Belki işlemi başka şekilde yapılması gerek veya soru farklı bölümler içeriyor.
İşlemin Fotoğrafa Göre Düzeltilmiş Sürümü ve Sonuç
Fotoğrafta en altta şu işlem yazılmış:
Bu gözle yapalım:
Not: -3^{-1/3} = -\frac{1}{3^{1/3}} değil; bu ifade (-3)^{-1/3} yani küp kökü alınmış -3’ün ters kuvveti.
Ama ifadeye bakılırsa tüm bu küçük tayinler işlemlere dahil olmuş.
Soruyu Tam ve Doğru Anlamak İçin Önerilen Yol
Fotoğraftaki işlem görünüşe göre birkaç üslü ve köklü ifadeyle yatırılmış ve işlemin sonucu soruluyor.
Bu yüzden:
- Sadece kare-küpkök tabanlarını hesaplayınız.
- Negatif üs ifadelerini ters alma olarak açınız.
- Parantezleri dikkatlice açınız.
- İşlemleri sadeleştiriniz.
İşlem sonucu -4√2 çıkıyor ama cevap seçeneklerinde bu yok, demek ki ifadede bir işlem hatası var ya da opsiyonların yazımı.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Küpkök hesapları | 8^{1/3} = 2, (-27)^{1/3} = -3 | 2 ve -3 |
| Payındaki ifade | 2 + (-3) -1 | -2 |
| Paydadaki ifade | (2^{3/2})^{-1} = 1/(2 \sqrt{2}) | 1/(2\sqrt{2}) |
| Sonuç işlemi | \frac{-2}{1/(2 \sqrt{2})} = -4\sqrt{2} | -4\sqrt{2} |
Sık Sorulan Sorular
1. Üslerin negatifliği ne anlama gelir?
Negatif üs, sayının tersinin pozitif üs anlamına gelir: a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
2. Negatif sayıların küpkökü nasıl alınır?
Negatif sayının küpkökü negatif olur: (-a)^{1/3} = -a^{1/3} çünkü küpkök işaret tutar.
3. Neden -4√2 sonucunu seçeneklerden bulamıyoruz?
Sorunun ifadesinde ya fotoğraftan kaynaklı eksik ya da yanlış okuma olabilir; seçeneklerle uyuşmuyor.
Sonraki Adımlar
İsterseniz, bu tür karmaşık üs ve kök işlemlerinin hızlı çözümü için özel yöntemlere ve püf noktalara odaklanan bir rehber hazırlayabilirim. İlgilenir misiniz?
Soru 21: İşlemin Sonucu Kaçtır?
İşlem:
Önemli Noktalar
- Küp kök: \sqrt[3]{a} her gerçel sayı için tanımlıdır ve işaretini korur.
- Üslü ifade: 3^{-1}=\tfrac13 olarak sadeleşir.
- Kesirli işlemler: \displaystyle\frac{A}{B} ifadesinin sonucu A\div B olarak hesaplanır.
Sonuç:
Sonuç $$\frac{3}{2}$$ olup seçeneklerdeki C şıkkına karşılık gelir.
İçindekiler
Detaylı Çözüm
- Küp kökleri hesaplayalım:
- 8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}=2
- (-27)^{\frac13}=\sqrt[3]{-27}=-3
- Pay:8^{\frac13}+(-27)^{\frac13} =2+(-3)=-1
- Payda:3^{-1}-1 =\tfrac13-1 =\tfrac{1-3}{3} =-\tfrac{2}{3}
- Bölme işlemi:\frac{-1}{-\tfrac23} =(-1)\times\bigl(-\tfrac23\bigr)^{-1}\quad\text{(ya da doğrudan çarpma)} =(-1)\times\frac{-3}{2} =\frac{3}{2}.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | \sqrt{x} (karekök) | \sqrt[3]{x} (küp kök) |
|---|---|---|
| Tanım kümesi | x\ge0 | Tüm gerçel sayılar |
| İşaret durumu | Sonuç \ge0 | İşaret girişe göre belirlenir |
| Üslü gösterim | x^{\frac12} | x^{\frac13} |
| Negatif girişte | Tanımsız (gerçellerde) | Gerçek sonuç verir |
Özet Tablosu
| Adım | Ara İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | 8^{1/3} | 2 |
| 2 | (-27)^{1/3} | -3 |
| 3 | Pay = 2 + (-3) | -1 |
| 4 | Payda = 3^{-1} - 1 | -\tfrac{2}{3} |
| 5 | Bölme = (-1)/(-2/3) | \tfrac{3}{2} |
SSS
- Küp kök ile karekök arasındaki temel fark nedir?
- Negatif sayının tek dereceden (3., 5., …) kökü nasıl bulunur?
- Üslü ifadelerde negatif üs nasıl yorumlanır?
- Bölme işleminde kesir ters çevirme adımı neden kullanılır?
Bu konuya benzer 3 pratik örnek çözmek ister misiniz?
@Selin_Yildirim1