Soru: ( 2^{x+1} = 10^{x-1} ) olduğuna göre ( 5^{2x-1} ) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Elimizde verilen denklem:
Bu ifadeden yola çıkarak adım adım ilerleyelim.
Adım 1: ( 10^{x-1} )’i açalım
Bu durumda denklem şu hale gelir:
[
2^{x+1} = 2^{x-1} \cdot 5^{x-1}
]
Adım 2: Paylaştırma işlemini yapalım
Her iki tarafı ( 2^{x-1} ) ile sadeleştirelim:
[
\frac{2^{x+1}}{2^{x-1}} = 5^{x-1}
]
Üstlü ifadeleri sadeleştirelim:
[
2^{x+1 - (x-1)} = 5^{x-1}
]
[
2^2 = 5^{x-1}
]
[
4 = 5^{x-1}
]
Adım 3: ( x-1 )’i bulalım
Her iki tarafın da ( \log_5 ) fonksiyonunu alalım:
[
\log_5 4 = x-1
]
Buradan:
[
x = \log_5 4 + 1
]
Adım 4: ( 5^{2x-1} ) ifadesini yazalım
Soruda istenen ifadeyi yerine koyarak ilerleyelim:
[
5^{2x-1}
]
Burada ( x = \log_5 4 + 1 )’i yerine yazıyoruz:
[
2x - 1 = 2 \cdot (\log_5 4 + 1) - 1
]
Dağıtıp düzenleyelim:
[
2x - 1 = 2 \log_5 4 + 2 - 1
]
[
2x - 1 = 2 \log_5 4 + 1
]
Şimdi:
[
5^{2x-1} = 5^{2 \log_5 4 + 1}
]
Üstlü ifadeyi dağıtalım:
[
5^{2x-1} = 5^{2 \log_5 4} \cdot 5^1
]
5^{\log_5 4} = 4
5^{2x-1} = (4)^2 \cdot 5
5^{2x-1} = 16 \cdot 5
5^{2x-1} = 80
\boxed{80}