Soru:
SORU 2 : Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz. (a) ∫ (3√x - 2√x) dx (b) ∫ (√x³ - 5√x²) dx (c) ∫ (2√x⁷ + 9√x⁴) dx Çözümü Göster
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç fonksiyonlarının integrali:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
(n ≠ -1)
- Kök ifadesini üs cinsinden yazma:
\sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
(a) \int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
Adım 1 — Kökleri Üs Cinsinden Yaz:
3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}, \quad 2\sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — İntegrali Al:
\int (3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}}) dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{1}{3}} dx
= 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C
Adım 3 — Üsleri Hesapla:
\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}, \quad \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}
Adım 4 — Sonucu Yaz:
3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C
= 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \int (\sqrt{x^3} - 5\sqrt{x^2}) \, dx
Adım 1 — Kökleri Üs Cinsinden Yaz:
\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}
\sqrt{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^{1} = x
Adım 2 — İntegrali Al:
\int (x^{\frac{3}{2}} - 5x) dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx - 5 \int x dx
= \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C
Adım 3 — Üsleri Hesapla:
\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}, \quad 1 + 1 = 2
Adım 4 — Sonucu Yaz:
\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 5 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} x^{2} + C
(c) \int \left( 2\sqrt{x^7} + 9\sqrt[5]{x^4} \right) dx
Adım 1 — Kökleri Üs Cinsinden Yaz:
2\sqrt{x^{7}} = 2 (x^{7})^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{7}{2}}
9\sqrt[5]{x^{4}} = 9 (x^{4})^{\frac{1}{5}} = 9 x^{\frac{4}{5}}
Adım 2 — İntegrali Al:
\int \left( 2x^{\frac{7}{2}} + 9x^{\frac{4}{5}} \right) dx = 2 \int x^{\frac{7}{2}} dx + 9 \int x^{\frac{4}{5}} dx
= 2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2} + 1}}{\frac{7}{2} + 1} + 9 \cdot \frac{x^{\frac{4}{5} + 1}}{\frac{4}{5} + 1} + C
Adım 3 — Üsleri Hesapla:
\frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2}, \quad \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}
Adım 4 — Sonucu Yaz:
2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} + 9 \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C = 2 \cdot \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + 9 \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C
= \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
CEVAP:
\begin{cases}
(a) \quad \int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) dx = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C \\
(b) \quad \int (\sqrt{x^3} - 5\sqrt{x^2}) dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} x^2 + C \\
(c) \quad \int \left( 2\sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4} \right) dx = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
\end{cases}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU 2 : Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz. (a) ∫(3√x - 2√x) dx (b) ∫(√x³ - 5√x²) dx (c) ∫(2√x⁷ + 9√x⁴) dx
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç kuralı:
\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n ≠ −1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a) İntegrali hesapla
Kurulum:
\int\bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt{x}\bigr)\,dx
Birinci terim:
3\sqrt{x}
=3x^{1/2}
\int 3x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}
İkinci terim:
-2\sqrt{x}
=-2x^{1/2}
\int -2x^{1/2}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=-2\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=-2\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=-\frac{4}{3}x^{3/2}
Toplama:
2x^{3/2}-\frac{4}{3}x^{3/2}
=\frac{6}{3}x^{3/2}-\frac{4}{3}x^{3/2}
=\frac{2}{3}x^{3/2}
Adım 2 — (b) İntegrali hesapla
Kurulum:
\int\bigl(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\bigr)\,dx
Not: Burada \sqrt{x^3}=x^{3/2} ve \sqrt{x^2}=x (x≥0 için).
Birinci terim:
x^{3/2}
\int x^{3/2}\,dx
=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}
=\frac{x^{5/2}}{5/2}
=\frac{2}{5}x^{5/2}
İkinci terim:
-5x
\int -5x\,dx
=-5\cdot\frac{x^{1+1}}{1+1}
=-5\cdot\frac{x^{2}}{2}
=-\frac{5}{2}x^{2}
Toplama:
\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}
Adım 3 — (c) İntegrali hesapla
Kurulum:
\int\bigl(2\sqrt{x^7}+9\sqrt{x^4}\bigr)\,dx
Not: Burada \sqrt{x^7}=x^{7/2} ve \sqrt{x^4}=x^{4/2}=x^2.
Birinci terim:
2x^{7/2}
\int 2x^{7/2}\,dx
=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}
=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}
=2\cdot\frac{2}{9}\,x^{9/2}
=\frac{4}{9}x^{9/2}
İkinci terim:
9x^{2}
\int 9x^{2}\,dx
=9\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1}
=9\cdot\frac{x^{3}}{3}
=3x^{3}
Toplama:
\frac{4}{9}x^{9/2}+3x^{3}
CEVAP:
(a) \displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}+C
(b) \displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C
(c) \displaystyle \frac{4}{9}x^{9/2}+3x^{3}+C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!