Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a)
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
(b)
\int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2}) \, dx
(c)
\int (2\sqrtx} - 9\sqrtx}^4) \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
(a) \int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
Adım 1 — Üsleri yazalım
3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}, \quad 2\sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — İntegrali parçalayalım ve hesaplayalım
\int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{1}{3}} \, dx
= 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{1}{3}} \, dx
Adım 3 — Formülü uygula
3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C
= 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C
Adım 4 — Paydaları düzeltelim
= 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C
= 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2}) \, dx
Adım 1 — Üsleri yazalım
\sqrt[3]{x^3} = x^{\frac{3}{3}} = x^{1} = x
5\sqrt[3]{x^2} = 5x^{\frac{2}{3}}
Adım 2 — İntegrali parçalayalım ve hesaplayalım
\int x \, dx - 5 \int x^{\frac{2}{3}} \, dx
Adım 3 — Formülü uygula
\frac{x^{1+1}}{1+1} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C
= \frac{x^2}{2} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C
Adım 4 — Paydaları düzeltelim
= \frac{x^2}{2} - 5 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C
= \frac{x^2}{2} - 3x^{\frac{5}{3}} + C
(c) \int (2\sqrt{x} - 9\sqrt[5]{x^4}) \, dx
Adım 1 — Üsleri yazalım
2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}, \quad 9\sqrt[5]{x^4} = 9x^{\frac{4}{5}}
Adım 2 — İntegrali parçalayalım ve hesaplayalım
\int 2x^{\frac{1}{2}} \, dx - \int 9x^{\frac{4}{5}} \, dx = 2\int x^{\frac{1}{2}} \, dx - 9 \int x^{\frac{4}{5}} \, dx
Adım 3 — Formülü uygula
2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - 9 \cdot \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C
= 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 9 \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C
Adım 4 — Paydaları düzeltelim
= 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 9 \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C
= \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{9}{5}} + C
CEVAPLAR:
\text{(a)} \quad 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
\text{(b)} \quad \frac{x^2}{2} - 3x^{\frac{5}{3}} + C
\text{(c)} \quad \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{9}{5}} + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İntegral kuvvet kuralı: $$\int x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad (n\neq -1)$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Not: (c) şıkkındaki kök dereceleri görüntüde biraz belirsiz görünüyordu; burada ben 2·7. dereceden kök (yani 2\sqrt[7]{x}=2x^{1/7}) ve 9·5. dereceden kök (yani 9\sqrt[5]{x^4}=9x^{4/5}) varsayımı ile çözdüm. Eğer farklıysa belirtin, ona göre düzeltirim.
Adım 1 — (a) \displaystyle \int(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x})\,dx
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
= $$3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}$$
= $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}$$
= $$3\cdot\frac{2}{3}\cdot x^{3/2}$$
= $$2x^{3/2}$$
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
= $$-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}$$
= $$-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}$$
= $$-2\cdot\frac{3}{4}\cdot x^{4/3}$$
= $$-\frac{3}{2}x^{4/3}$$
Adım 2 — (b) \displaystyle \int(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt[3]{x^2})\,dx
Birinci terim:
\int \sqrt[3]{x^3}\,dx
= $$\int x,dx$$
= $$\frac{x^2}{2}$$
İkinci terim:
-5\int x^{2/3}\,dx
= $$-5\cdot\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}$$
= $$-5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}$$
= $$-5\cdot\frac{3}{5}\cdot x^{5/3}$$
= $$-3x^{5/3}$$
Adım 3 — (c) \displaystyle \int\bigl(2\sqrt[7]{x}-9\sqrt[5]{x^4}\bigr)\,dx (varsayım)
Birinci terim:
2\int x^{1/7}\,dx
= $$2\cdot\frac{x^{1/7+1}}{1/7+1}$$
= $$2\cdot\frac{x^{8/7}}{8/7}$$
= $$2\cdot\frac{7}{8}\cdot x^{8/7}$$
= $$\frac{7}{4}x^{8/7}$$
İkinci terim:
-9\int x^{4/5}\,dx
= $$-9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}$$
= $$-9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}$$
= $$-9\cdot\frac{5}{9}\cdot x^{9/5}$$
= $$-5x^{9/5}$$
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(a) \displaystyle \int(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x})\,dx=2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C
(b) \displaystyle \int(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt[3]{x^2})\,dx=\tfrac{x^2}{2}-3x^{5/3}+C
(c) (varsayım: 2\sqrt[7]{x}-9\sqrt[5]{x^4}) \displaystyle \int\bigl(2\sqrt[7]{x}-9\sqrt[5]{x^4}\bigr)\,dx=\tfrac{7}{4}x^{8/7}-5x^{9/5}+C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İntegral kuvvet kuralı
- Tanım: \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: Kök ifadeleri kesirli kuvvetlere çevirip bu kuralı kullandık.
- Köklerin kesirli kuvvete dönüşümü
- Tanım: \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}
- Bu problemde: Örneğin \sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}, \sqrt[7]{x}=x^{1/7}.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kökleri yanlış çevirmek
- Yanlış: \sqrt[3]{x^3} yerine x^3 yazmak.
- Doğru: \sqrt[3]{x^3}=x.
- Neden yanlış: Kök ve üs işlemleri karıştırılır.
- Düzeltme: \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n} kuralını uygula.
Paydaları hesaplarken hata
- Yanlış: \int x^{1/2}dx=\dfrac{x^{3/2}}{2} yazmak.
- Doğru: \int x^{1/2}dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
- Neden yanlış: Üst +1 işleminden sonra doğru payda kullanılmalı.
- Düzeltme: Her zaman n+1 ile bölmeyi unutma.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?