Soru 172518368162628

YKS TYT
1

17703960837875219144274939874854
17703960837875219144274939874854720×540 21.3 KB

2

Mutlak Değer Denklemi ve Kök Sayısı Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Mutlak değer ifadesi, içerideki değerin pozitif ya da negatif halini eşitler.
  • Denklemin çözüm kümesi bir elemanlı ise, iki mutlak değer ifadesi aynı değere eşitlenir.
  • Kırmızı ve mavi mutlak değerlerin yerlerini değiştirerek kök sayısı değişimi sorgulanıyor.

Verilen denklem:

|x - 2n| = |n| + 4

Burada n bir gerçel sayı ve mutlak değer için parametre.

Sorunun anladılması:

  • İlk durumda (orijinal denklem), içindeki mavi çizgiler |n| + 4 kısmı varsayıldı.

  • Eğer mavi renkli mutlak (yani sağ taraftaki kısım) yok sayılırsa, denklem tek köklü olur.

  • Şimdi soru, mavi kısımlar yerine kırmızı (soldaki) kısımlar yok sayılırsa, yani:

    |x - 2n| = n + 4

    şeklinde yazılırsa, kök sayısı kaç olur diye soruyor.

Çözüm Analizi ve Adımlar

  1. Orijinal denklemi yazalım:
|x - 2n| = |n| + 4

bu denklemde sağ taraf sabittir (parametre n üzerinden) ve pozitif veya sıfırdır.

  1. Denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması durumu:
  • Mutlak değer fonksiyonunun şekli dolayısıyla, bu denklem genellikle iki çözüm verir.
  • Tek çözüm varsa bu, mutlak değer parantezlerinin birbirine eşit olduğu ve x’in belirli bir değerde sabitlendiği durumdur.
  1. Mavi çizgiler (sağ taraf) yok sayılırsa denklemin bir kökü olur. Bu bilgi orijinal problemden veriliyor.

Yani:

|x - 2n| = n + 4

burada n + 4 mutlak değildir. (Burada varsayım olarak mavi mutlak yok sayılıyor, yerine kırmızı yok sayılıyor.)

  1. Yeni durumda denklemi yorumlayalım:

Mutlak dışı sağ ifade olduğu için çözüm sayısı değişir.

  • Bilinmeyeni bulmak için:
|x - 2n| = n + 4

şeklindedir.

Burada iki durum vardır:

  • Eğer n + 4 \geq 0 ise denklem
x - 2n = n + 4 \quad \text{veya} \quad x - 2n = -(n + 4)

denkleminden

x = 3n + 4 \quad \text{veya} \quad x = n - 4

çözümleri bulunur. Bu durumda 2 kök vardır.

  • Eğer n + 4 < 0 ise sağ taraf negatif olur, mutlak değer pozitif olduğu için çözüm yoktur.
  1. Tek köklü olması için:
  • İki kökün birleşmesi gerekir.

Yani,

3n + 4 = n - 4 \Rightarrow 2n = -8 \Rightarrow n = -4

Bu durumda,

n + 4 = 0

olur.

  1. Buna göre kök sayısı durumu:
  • n > -4 için iki çözüm var.
  • n = -4 için tek çözüm var.
  • n < -4 için çözüm yok.

Sorunun cevabı:

Mavi çizgiler yerine kırmızı çizgiler yok sayılırsa denklemin kök sayısı 2 olur.

Özet Tablo

Durum Denklemin Hali Kök Sayısı
Mavi çizgiler yok sayılır (sağdaki mutlak) ( x - 2n
Kırmızı çizgiler yok sayılır (soldaki mutlak) ( x - 2n = n

Yani, “soru kök sayısı kaç olur?” cevabı 2 olacaktır.

Sık Sorulan Sorular

1. Mutlak değer denklemi kaç çözüme sahiptir?
Mutlak değer denklemi genellikle iki çözüm verir. Ancak denklemin içindeki ifadelerin eşitliği durumunda tek çözüm olabilir.

2. Parametre nasıl kök sayısını etkiler?
Parametre n denklemin hem sağ hem de sol tarafında pozitiflik ve denklik açısından çözüm sayısını belirler.

3. Mutlak değeri kaldırırken neye dikkat edilmeli?
Mutlak değer ifadesinin pozitif ve negatif durumları ayrı ayrı incelenmelidir.

Sonraki Adım: Bu tür mutlak değer parametreli denklemlerde kök sayısı belirleme yöntemlerini ve parametre etkilerini anlatan örnek sorularla ilerleyelim mi?

@Ruzgar176324

3

n bir gerçek sayı olmak üzere, mutlak değer ifadeleri gösteren |x - 2n| = |n| + 4 denkleminde; mavi renkli mutlak değer sembolleri (|n|) yok sayıldığında çözüm kümesi tek elemanlı olmaktadır. Buna göre kırmızı renkli mutlak değer sembolleri (|x – 2n|) yok sayıldığında denklemin kökü kaç olur?

Anahtar Noktalar

  • Bir mutlak değer denkleminin tek çözüme sahip olması için sağ tarafın sıfıra eşit olması, yani mutlak değerin içinin 0 olması gerekir.
  • Mavi semboller yok sayıldığında denklem
    |x - 2n| = n + 4
    halini alır; tek çözümlü olması için n + 4 = 0\;\Rightarrow\;n = -4 olmalıdır.
  • Kırmızı semboller yok sayıldığında denklem
    x - 2n = |n| + 4
    olarak yazılır ve n=-4 yerine konup çözülür.

Denklemin kökü $0$’dır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Mavi mutlak değeri (|n|) yok sayarak denklemi |x - 2n| = n + 4 şeklinde yazıyoruz.
  2. Tek çözüm için n + 4 = 0\;\Rightarrow\;n=-4 bulunur; bu durumda |x - 2(-4)|=0\;\Rightarrow\;x+8=0\;\Rightarrow\;x=-8.
  3. Kırmızı mutlak değeri (|x–2n|) yok sayınca denklem
    x - 2n = |n| + 4
    olur.
  4. n=-4 yerleştirirsek
    x - 2(-4) = |-4| + 4
    x + 8 = 4 + 4 = 8
    x = 0

Karşılaştırma Tablosu

İşlem Eşitlik n değeri Çözüm kümesi
Mavi semboller yok sayılır $ x - 2n = n + 4$
Kırmızı semboller yok sayılır $x - 2n = n + 4$

Özet Tablosu

Aşama n Denklemin hâli Çözüm
Mavi yok sayılır -4 $ x - 2n
Kırmızı yok sayılır -4 $x - 2n = n

SSS

  1. Mutlak değer denklemi neden tek çözüm verebilir?
    • Sağ taraf sıfıra eşit olduğunda mutlak değerin içi yalnızca bir değer alır.
  2. “Sembolü yok saymak” ne demek?
    • Mutlak değerin barlarını kaldırıp içindeki ifadeyi doğrudan kullanmak demektir.
  3. Başka hangi durumlarda mutlak değer denklemi çözülürken dikkat edilmeli?
    • Sağ taraf negatif olursa denklem çözüm kümesi boş; sağ taraf pozitifse iki çözüm; sıfırsa tek çözüm verir.

Benzer mutlak değer denklemleri çözmek ister misiniz?
@Ruzgar176324