Soru 15 n

Sorumatik Kullanımı
,
1

image

2

Soru 15 n: Aşağıdaki şekilde G noktası ABC dik üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, |GH| = x kaç birimdir?

Verilenler

  • ABC bir dik üçgendir ve ∠A = 90°.
  • G, üçgenin ağırlık merkezidir (medyanların kesişim noktası).
  • GH ⟂ BC çizilmiş, H noktası BC üzerinde düşme noktasıdır.
  • BH = 8 birim, HC = 10 birim.
  • GH = x olarak veriliyor, x kaçtır?

İçindekiler

  1. Çözüm Yaklaşımı
  2. Koordinat Sistemi Kurulumu
  3. Ağırlık Merkezi ve H Noktasının Belirlenmesi
  4. Dik Üçgende Sağlanması Gereken Koşul
  5. Adım Adım Hesaplamalar
  6. Sonuç ve Doğrulama
  7. Özet Tablosu
  8. Kısa Özet

1. Çözüm Yaklaşımı

Bu tür sorularda koordinat sistemi kullanarak noktaların koordinatlarını belirlemek ve ardından ağırlık merkezi formülünü uygulamak, işlemleri sadeleştirir. Adımlar şu şekildedir:

  • BC doğrusu yatay eksen olarak alınır.
  • B noktasını orijin (0,0), C noktasını (18,0) kabul ederiz. (Çünkü BH + HC = 8 + 10 = 18.)
  • A noktasını (p, q) olarak tanımlar, ∠A = 90° koşulunu vektörel veya denklemsel olarak sağlar.
  • G ağırlık merkezi olarak (\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\,\frac{y_A + y_B + y_C}{3}) formülünden bulunur.
  • H noktası, G’den BC’ye indirilen dikmenin (projeksiyonun) yatay izdüşümüdür. GH uzunluğu da bu noktaların y-ekseni farkıdır.

2. Koordinat Sistemi Kurulumu

  • B = (0, 0)
  • C = (18, 0)
  • A = (p, q) olarak tanımlanır, q>0 olacak şekilde.

BC doğrusu yatay olduğundan, GH ⟂ BC dikmesi dikey bir doğru olur.

3. Ağırlık Merkezi ve H Noktasının Belirlenmesi

Üçgenin ağırlık merkezi G noktası:

G\bigl(x_G,\,y_G\bigr) =\Bigl(\tfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\;\tfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{p + 0 + 18}{3},\;\tfrac{q + 0 + 0}{3}\Bigr) =\bigl(\tfrac{p+18}{3},\;\tfrac{q}{3}\bigr).

H ise G’nin BC eksenine dik izdüşümü olduğundan H = (x_G,\,0) noktasıdır.
Verilen BH = 8 olduğuna göre:

x_H = x_G = \frac{p + 18}{3} = 8 \quad\Longrightarrow\quad p + 18 = 24 \quad\Longrightarrow\quad p = 6.

4. Dik Üçgende Sağlanması Gereken Koşul

ABC üçgeni dik açıya sahip (∠A = 90°) olduğuna göre:

\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC} \quad\Longrightarrow\quad (\,B - A\,)\cdot(\,C - A\,)=0.

Koordinatlar:

  • A=(6,q)
  • B=(0,0)
  • C=(18,0)

Böylece,

\overrightarrow{AB} = (-6,\,-q), \quad \overrightarrow{AC} = (12,\,-q).

Dik olma koşulu:

(-6)\cdot12 + (-q)\cdot(-q) = 0 \;\Longrightarrow\; -72 + q^2 = 0 \;\Longrightarrow\; q^2 = 72 \;\Longrightarrow\; q = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

5. Adım Adım Hesaplamalar

  1. p koordinatını BH = 8’den bulduk: p = 6.

  2. Dik açı koşuluyla q^2 = 72 → q = 6√2.

  3. Ağırlık merkezi G koordinatları:

    G\bigl(x_G,y_G\bigr) =\bigl(\tfrac{p+18}{3},\,\tfrac{q}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{6+18}{3},\,\tfrac{6\sqrt2}{3}\bigr) =(8,\;2\sqrt2).

  4. H = (8, 0) olduğundan GH uzunluğu:

    GH = |y_G - y_H| = |2\sqrt2 - 0| = 2\sqrt2.

Sonuç: x = 2√2.

6. Sonuç ve Doğrulama

  • Seçenekler arasında 2√2 bulunmaktadır ve sonuç ona uyar.
  • Koordinat yönteminin yanı sıra medyan özellikleri veya benzer üçgenler yaklaşımıyla da teyit edilebilir.

7. Özet Tablosu

Adım İşlem Açıklaması Sonuç
1. BC uzunluğu BH + HC = 8 + 10 18
2. B, C konumlandırma B=(0,0), C=(18,0) –
3. A = (p,q) tanımlama BH = 8 → p+18\over3=8 p = 6
4. Dik açı koşulu (-6)(12)+(-q)(-q)=0 → q^2=72 q = 6√2
5. Ağırlık merkezi G G=(\tfrac{6+18}3,\tfrac{6\sqrt2}3)=(8,2\sqrt2) –
6. Dikme uzunluğu GH GH = 2√2 - 0

8. Kısa Özet

  • ABC üçgeni dik açıya sahip olduğundan koordinatlarda AB\perp AC koşulu kullanıldı.
  • Ağırlık merkezi G=\bigl(\tfrac{p+18}{3},\tfrac{q}{3}\bigr) formülüyle ve BH=8 bilgisiyle p belirlendi.
  • Dik açı koşulundan q = 6√2 bulundu.
  • H noktası BC eksenindeki izdüşüm olduğundan GH = y_G = 2√2 çıktı.

Cevap: E) 2√2

@Zeynep_Bozkurt2

3

Soru: Aşağıdaki şekilde G noktası ABC dik üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, |GH| = x kaç birimdir?

Verilenler:

  • ABC dik üçgen, A köşesi dik açı.
  • [AB] \perp [AC]
  • [GH] \perp [BC]
  • |BH| = 8 birim
  • |HC| = 10 birim
  • G ağırlık merkezi (üçgenin centroidi)
  • |GH| = x bulunacak.

Çözüm Adımları

1. Üçgenin kenar uzunlukları ve koordinat sistemi

BC doğrusu üzerinde H noktası var ve BH=8, HC=10 olduğuna göre, BC=18 birimdir.

ABC dik üçgeninde A dik açı olduğundan, AB \perp AC.

G ağırlık merkezi, üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren medyanların kesişim noktasıdır.

2. Koordinat Sistemi Kurulumu

Kolaylık için B noktasını orijin olarak alalım:

  • B = (0,0)
  • C = (18,0) (çünkü BC=18 birim ve H BC üzerinde)
  • H noktası BC üzerinde ve BH=8 olduğuna göre H = (8,0)

3. A noktasının koordinatları

A noktası BC doğrusu üzerinde değil, AB \perp AC ve A dik açı olduğundan, A noktası B ve C'den yukarıda bir yerde.

AB ve AC dik olduğuna göre, A noktası B ve C'den dik olarak yüksekte.

AB dik olduğuna göre, A noktası B'den yukarıda, yani A = (0,a) şeklinde olabilir.

Şimdi A = (0,a) olarak alalım.

4. G ağırlık merkezi koordinatları

Ağırlık merkezi (centroid) koordinatları:

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

Yerine koyarsak:

G_x = \frac{0 + 0 + 18}{3} = \frac{18}{3} = 6

G_y = \frac{a + 0 + 0}{3} = \frac{a}{3}

Yani G = (6, \frac{a}{3}).

5. GH uzunluğunu bulma

H = (8,0) ve G = (6, \frac{a}{3}) olduğuna göre,

|GH| = \sqrt{(8 - 6)^2 + \left(0 - \frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{36 + a^2}{9}} = \frac{\sqrt{36 + a^2}}{3}

6. a değerini bulma

A = (0,a), B = (0,0), C = (18,0).

AB uzunluğu:

|AB| = |a - 0| = a

AC uzunluğu:

|AC| = \sqrt{(18 - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{324 + a^2}

Üçgen dik açı A noktasında olduğuna göre, Pisagor Teoremi:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Yerine koyarsak:

a^2 + ( \sqrt{324 + a^2} )^2 = 18^2

a^2 + 324 + a^2 = 324

2a^2 + 324 = 324

2a^2 = 0

a^2 = 0

Bu sonuç a=0 demek ki A noktası B ile aynı noktada olur ki bu mümkün değil.

Burada hata var, çünkü A noktası B noktasında değil.

7. Hata nerede?

AB \perp AC ve A dik açı olduğuna göre, A noktası B ve C'den farklıdır.

Ancak AB \perp AC ifadesi, AB ve AC kenarlarının birbirine dik olduğunu söylüyor.

B ve C noktalarını x ekseni üzerinde aldık.

B = (0,0), C = (18,0).

AB dik olduğuna göre, AB doğrusu y ekseni boyunca olabilir.

Yani A = (0,a).

AC doğrusu ise A ile C arasındaki doğru.

AB \perp AC ise, AB doğrusu dikey, AC doğrusu yatay olmamalı.

Ama AC doğrusu A=(0,a) ile C=(18,0) arasında.

Eğimler:

  • AB doğrusu: B=(0,0) ile A=(0,a) arası, eğim sonsuz (dikey).
  • AC doğrusu: A=(0,a) ile C=(18,0) arası, eğim:

m_{AC} = \frac{0 - a}{18 - 0} = -\frac{a}{18}

AB dikey, AC eğimi -\frac{a}{18}.

Dikey ve eğimli doğruların çarpımı -1 olmalı.

Dikey doğrunun eğimi sonsuz, bu nedenle AB \perp AC doğru.

Yani AB dikey, AC eğimli olabilir.

Bu durumda A=(0,a) kabulü doğrudur.

8. ABC dik üçgeninde A dik açı olduğuna göre, AB \perp AC zaten sağlanıyor.

9. GH \perp BC ve G ağırlık merkezi olduğuna göre, GH medyanın yüksekliği değil, G'den BC'ye indirilen dikme.

10. G ve H noktaları:

  • H BC üzerinde, BH=8, HC=10, BC=18.
  • G ağırlık merkezi.

11. G'nin koordinatları:

G = \left( \frac{0 + 0 + 18}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3} \right) = (6, \frac{a}{3})

12. GH uzunluğu:

|GH| = \sqrt{(8 - 6)^2 + \left(0 - \frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{a^2}{9}} = \frac{\sqrt{36 + a^2}}{3}

13. a değerini bulmak için AB uzunluğunu hesaplayalım.

AB = a.

AC = \sqrt{(18)^2 + a^2} = \sqrt{324 + a^2}.

BC = 18.

A dik açı olduğuna göre:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Yerine koyarsak:

a^2 + (324 + a^2) = 18^2

a^2 + 324 + a^2 = 324

2a^2 + 324 = 324

2a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 0 \Rightarrow a=0

Bu çelişkiyi çözmek için A noktasını farklı alalım.

14. Alternatif yaklaşım: A noktasını y ekseni üzerinde değil, başka bir yerde alalım.

B = (0,0)

C = (18,0)

A = (0,a) dik açı değil.

Ama verilenlere göre AB \perp AC.

Eğim AB:

m_{AB} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{a - 0}{0 - 0} = \text{sınırsız} \Rightarrow \text{dikey}

Eğim AC:

m_{AC} = \frac{0 - a}{18 - 0} = -\frac{a}{18}

Dikey ve eğimli doğruların çarpımı -1 olmalı.

Dikey doğrunun eğimi sonsuz, bu nedenle AB \perp AC sağlanıyor.

Ancak A noktası y ekseni üzerinde olmalı.

15. AB = 8 birim olarak verilmiş mi?

Hayır, sadece BH=8 ve HC=10 verilmiş.

16. AB uzunluğunu bulalım:

AB = |a|.

17. AC uzunluğu:

AC = \sqrt{(18)^2 + a^2} = \sqrt{324 + a^2}

18. ABC dik üçgeninde A dik açı olduğuna göre:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Yerine koyarsak:

a^2 + (324 + a^2) = 18^2

a^2 + 324 + a^2 = 324

2a^2 + 324 = 324

2a^2 = 0 \Rightarrow a=0

Bu çelişkiyi çözmek için A noktasını y ekseni üzerinde değil, farklı bir yerde alalım.

19. A noktasını x ekseni üzerinde alalım.

B = (0,0)

C = (18,0)

A = (x_A,y_A)

AB \perp AC ve A dik açı.

20. AB doğrusu B=(0,0) ile A=(x_A,y_A) arası.

Eğim:

m_{AB} = \frac{y_A - 0}{x_A - 0} = \frac{y_A}{x_A}

21. AC doğrusu A=(x_A,y_A) ile C=(18,0) arası.

Eğim:

m_{AC} = \frac{0 - y_A}{18 - x_A} = \frac{-y_A}{18 - x_A}

22. AB \perp AC ise:

m_{AB} \cdot m_{AC} = -1

Yerine koyarsak:

\frac{y_A}{x_A} \cdot \frac{-y_A}{18 - x_A} = -1

-\frac{y_A^2}{x_A (18 - x_A)} = -1

\frac{y_A^2}{x_A (18 - x_A)} = 1

y_A^2 = x_A (18 - x_A)

23. H noktası BC üzerinde ve BH=8, HC=10 olduğuna göre:

B=(0,0), C=(18,0), H=(8,0).

24. G ağırlık merkezi koordinatları:

G = \left( \frac{x_A + 0 + 18}{3}, \frac{y_A + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{x_A + 18}{3}, \frac{y_A}{3} \right)

25. GH uzunluğu:

|GH| = \sqrt{(8 - \frac{x_A + 18}{3})^2 + \left(0 - \frac{y_A}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(8 - \frac{x_A + 18}{3}\right)^2 + \left(\frac{y_A}{3}\right)^2}

26. GH = x olarak verilmiş.

27. GH uzunluğunu sadeleştirelim:

8 - \frac{x_A + 18}{3} = \frac{24 - x_A - 18}{3} = \frac{6 - x_A}{3}

O halde:

|GH| = \sqrt{\left(\frac{6 - x_A}{3}\right)^2 + \left(\frac{y_A}{3}\right)^2} = \frac{1}{3} \sqrt{(6 - x_A)^2 + y_A^2}

28. y_A^2 = x_A (18 - x_A) olduğuna göre:

|GH| = \frac{1}{3} \sqrt{(6 - x_A)^2 + x_A (18 - x_A)}

29. Açalım:

(6 - x_A)^2 + x_A (18 - x_A) = (36 - 12 x_A + x_A^2) + (18 x_A - x_A^2) = 36 - 12 x_A + x_A^2 + 18 x_A - x_A^2 = 36 + 6 x_A

30. Sonuç:

|GH| = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 6 x_A} = \frac{1}{3} \sqrt{6 (6 + x_A)} = \frac{\sqrt{6}}{3} \sqrt{6 + x_A}

31. x_A değerini bulmak için H noktasının GH \perp BC koşulunu kullanalım.

GH \perp BC olduğuna göre, GH doğrusu BC'ye diktir.

BC doğrusu x ekseni üzerinde, yani eğimi 0.

GH doğrusu dik olduğuna göre, GH doğrusu dikey olmalı.

G = \left( \frac{x_A + 18}{3}, \frac{y_A}{3} \right)

H = (8,0)

GH doğrusu eğimi:

m_{GH} = \frac{\frac{y_A}{3} - 0}{\frac{x_A + 18}{3} - 8} = \frac{\frac{y_A}{3}}{\frac{x_A + 18 - 24}{3}} = \frac{y_A / 3}{(x_A - 6)/3} = \frac{y_A}{x_A - 6}

32. GH \perp BC ve BC eğimi 0 olduğuna göre, GH eğimi sonsuz olmalı.

Yani:

x_A - 6 = 0 \Rightarrow x_A = 6

33. x_A = 6 ise, y_A^2 = x_A (18 - x_A) = 6 \times (18 - 6) = 6 \times 12 = 72

y_A = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}

34. |GH| uzunluğunu hesaplayalım:

|GH| = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 6 x_A} = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 6 \times 6} = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 36} = \frac{1}{3} \sqrt{72} = \frac{1}{3} \times 6 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}

Sonuç:

|GH| = 2 \sqrt{2}

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç / Formül
1 B=(0,0), C=(18,0), H=(8,0)
2 A=(x_A,y_A), AB \perp AC y_A^2 = x_A (18 - x_A)
3 G ağırlık merkezi G = \left(\frac{x_A + 18}{3}, \frac{y_A}{3}\right)
4 GH uzunluğu $
5 GH \perp BC ve BC eğimi 0 x_A = 6
6 y_A^2 = 6 \times 12 = 72 y_A = 6 \sqrt{2}
7 $ GH

Cevap: E) 2 \sqrt{2}

@Zeynep_Bozkurt2