Soru 15 n: Aşağıdaki şekilde G noktası ABC dik üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, |GH| = x kaç birimdir?
Verilenler
- ABC bir dik üçgendir ve ∠A = 90°.
- G, üçgenin ağırlık merkezidir (medyanların kesişim noktası).
- GH ⟂ BC çizilmiş, H noktası BC üzerinde düşme noktasıdır.
- BH = 8 birim, HC = 10 birim.
- GH = x olarak veriliyor, x kaçtır?
İçindekiler
1. Çözüm Yaklaşımı
Bu tür sorularda koordinat sistemi kullanarak noktaların koordinatlarını belirlemek ve ardından ağırlık merkezi formülünü uygulamak, işlemleri sadeleştirir. Adımlar şu şekildedir:
- BC doğrusu yatay eksen olarak alınır.
- B noktasını orijin (0,0), C noktasını (18,0) kabul ederiz. (Çünkü BH + HC = 8 + 10 = 18.)
- A noktasını (p, q) olarak tanımlar, ∠A = 90° koşulunu vektörel veya denklemsel olarak sağlar.
- G ağırlık merkezi olarak (\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\,\frac{y_A + y_B + y_C}{3}) formülünden bulunur.
- H noktası, G’den BC’ye indirilen dikmenin (projeksiyonun) yatay izdüşümüdür. GH uzunluğu da bu noktaların y-ekseni farkıdır.
2. Koordinat Sistemi Kurulumu
- B = (0, 0)
- C = (18, 0)
- A = (p, q) olarak tanımlanır, q>0 olacak şekilde.
BC doğrusu yatay olduğundan, GH ⟂ BC dikmesi dikey bir doğru olur.
3. Ağırlık Merkezi ve H Noktasının Belirlenmesi
Üçgenin ağırlık merkezi G noktası:
$
G\bigl(x_G,,y_G\bigr)
=\Bigl(\tfrac{x_A + x_B + x_C}{3},;\tfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\Bigr)
=\Bigl(\tfrac{p + 0 + 18}{3},;\tfrac{q + 0 + 0}{3}\Bigr)
=\bigl(\tfrac{p+18}{3},;\tfrac{q}{3}\bigr).
$
H ise G’nin BC eksenine dik izdüşümü olduğundan H = (x_G,\,0) noktasıdır.
Verilen BH = 8 olduğuna göre:
$
x_H = x_G = \frac{p + 18}{3} = 8
\quad\Longrightarrow\quad
p + 18 = 24
\quad\Longrightarrow\quad
p = 6.
$
4. Dik Üçgende Sağlanması Gereken Koşul
ABC üçgeni dik açıya sahip (∠A = 90°) olduğuna göre:
$
\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}
\quad\Longrightarrow\quad
(,B - A,)\cdot(,C - A,)=0.
$
Koordinatlar:
- A=(6,q)
- B=(0,0)
- C=(18,0)
Böylece,
$
\overrightarrow{AB} = (-6,,-q),
\quad
\overrightarrow{AC} = (12,,-q).
$
Dik olma koşulu:
$
(-6)\cdot12 + (-q)\cdot(-q) = 0
;\Longrightarrow;
-72 + q^2 = 0
;\Longrightarrow;
q^2 = 72
;\Longrightarrow;
q = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.
$
5. Adım Adım Hesaplamalar
- p koordinatını BH = 8’den bulduk: p = 6.
- Dik açı koşuluyla q^2 = 72 → q = 6√2.
- Ağırlık merkezi G koordinatları:
$
G\bigl(x_G,y_G\bigr)
=\bigl(\tfrac{p+18}{3},,\tfrac{q}{3}\bigr)
=\bigl(\tfrac{6+18}{3},,\tfrac{6\sqrt2}{3}\bigr)
=(8,;2\sqrt2).
$
- H = (8, 0) olduğundan GH uzunluğu:
$
GH = |y_G - y_H| = |2\sqrt2 - 0| = 2\sqrt2.
$
Sonuç: x = 2√2.
6. Sonuç ve Doğrulama
- Seçenekler arasında 2√2 bulunmaktadır ve sonuç ona uyar.
- Koordinat yönteminin yanı sıra medyan özellikleri veya benzer üçgenler yaklaşımıyla da teyit edilebilir.
7. Özet Tablosu
| Adım | İşlem Açıklaması | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. BC uzunluğu | BH + HC = 8 + 10 | 18 |
| 2. B, C konumlandırma | B=(0,0), C=(18,0) | – |
| 3. A = (p,q) tanımlama | BH = 8 → p+18\over3=8 | p = 6 |
| 4. Dik açı koşulu | (-6)(12)+(-q)(-q)=0 → q^2=72 | q = 6√2 |
| 5. Ağırlık merkezi G | G=(\tfrac{6+18}3,\tfrac{6\sqrt2}3)=(8,2\sqrt2) | – |
| 6. Dikme uzunluğu GH | GH = | 2√2 - 0 |
8. Kısa Özet
- ABC üçgeni dik açıya sahip olduğundan koordinatlarda AB\perp AC koşulu kullanıldı.
- Ağırlık merkezi G=\bigl(\tfrac{p+18}{3},\tfrac{q}{3}\bigr) formülüyle ve BH=8 bilgisiyle p belirlendi.
- Dik açı koşulundan q = 6√2 bulundu.
- H noktası BC eksenindeki izdüşüm olduğundan GH = y_G = 2√2 çıktı.
Cevap: E) 2√2
Soru: Aşağıdaki şekilde G noktası ABC dik üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, |GH| = x kaç birimdir?
Verilenler:
- ABC dik üçgen, A köşesi dik açı.
- [AB] \perp [AC]
- [GH] \perp [BC]
- |BH| = 8 birim
- |HC| = 10 birim
- G ağırlık merkezi (üçgenin centroidi)
- |GH| = x bulunacak.
Çözüm Adımları
1. Üçgenin kenar uzunlukları ve koordinat sistemi
BC doğrusu üzerinde H noktası var ve BH=8, HC=10 olduğuna göre, BC=18 birimdir.
ABC dik üçgeninde A dik açı olduğundan, AB \perp AC.
G ağırlık merkezi, üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren medyanların kesişim noktasıdır.
2. Koordinat Sistemi Kurulumu
Kolaylık için B noktasını orijin olarak alalım:
- B = (0,0)
- C = (18,0) (çünkü BC=18 birim ve H BC üzerinde)
- H noktası BC üzerinde ve BH=8 olduğuna göre H = (8,0)
3. A noktasının koordinatları
A noktası BC doğrusu üzerinde değil, AB \perp AC ve A dik açı olduğundan, A noktası B ve C'den yukarıda bir yerde.
AB ve AC dik olduğuna göre, A noktası B ve C'den dik olarak yüksekte.
AB dik olduğuna göre, A noktası B'den yukarıda, yani A = (0,a) şeklinde olabilir.
Şimdi A = (0,a) olarak alalım.
4. G ağırlık merkezi koordinatları
Ağırlık merkezi (centroid) koordinatları:
G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
Yerine koyarsak:
G_x = \frac{0 + 0 + 18}{3} = \frac{18}{3} = 6
G_y = \frac{a + 0 + 0}{3} = \frac{a}{3}
Yani G = (6, \frac{a}{3}).
5. GH uzunluğunu bulma
H = (8,0) ve G = (6, \frac{a}{3}) olduğuna göre,
|GH| = \sqrt{(8 - 6)^2 + \left(0 - \frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{36 + a^2}{9}} = \frac{\sqrt{36 + a^2}}{3}
6. a değerini bulma
A = (0,a), B = (0,0), C = (18,0).
AB uzunluğu:
|AB| = |a - 0| = a
AC uzunluğu:
|AC| = \sqrt{(18 - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{324 + a^2}
Üçgen dik açı A noktasında olduğuna göre, Pisagor Teoremi:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Yerine koyarsak:
a^2 + ( \sqrt{324 + a^2} )^2 = 18^2
a^2 + 324 + a^2 = 324
2a^2 + 324 = 324
2a^2 = 0
a^2 = 0
Bu sonuç a=0 demek ki A noktası B ile aynı noktada olur ki bu mümkün değil.
Burada hata var, çünkü A noktası B noktasında değil.
7. Hata nerede?
AB \perp AC ve A dik açı olduğuna göre, A noktası B ve C'den farklıdır.
Ancak AB \perp AC ifadesi, AB ve AC kenarlarının birbirine dik olduğunu söylüyor.
B ve C noktalarını x ekseni üzerinde aldık.
B = (0,0), C = (18,0).
AB dik olduğuna göre, AB doğrusu y ekseni boyunca olabilir.
Yani A = (0,a).
AC doğrusu ise A ile C arasındaki doğru.
AB \perp AC ise, AB doğrusu dikey, AC doğrusu yatay olmamalı.
Ama AC doğrusu A=(0,a) ile C=(18,0) arasında.
Eğimler:
- AB doğrusu: B=(0,0) ile A=(0,a) arası, eğim sonsuz (dikey).
- AC doğrusu: A=(0,a) ile C=(18,0) arası, eğim:
m_{AC} = \frac{0 - a}{18 - 0} = -\frac{a}{18}
AB dikey, AC eğimi -\frac{a}{18}.
Dikey ve eğimli doğruların çarpımı -1 olmalı.
Dikey doğrunun eğimi sonsuz, bu nedenle AB \perp AC doğru.
Yani AB dikey, AC eğimli olabilir.
Bu durumda A=(0,a) kabulü doğrudur.
8. ABC dik üçgeninde A dik açı olduğuna göre, AB \perp AC zaten sağlanıyor.
9. GH \perp BC ve G ağırlık merkezi olduğuna göre, GH medyanın yüksekliği değil, G'den BC'ye indirilen dikme.
10. G ve H noktaları:
- H BC üzerinde, BH=8, HC=10, BC=18.
- G ağırlık merkezi.
11. G'nin koordinatları:
G = \left( \frac{0 + 0 + 18}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3} \right) = (6, \frac{a}{3})
12. GH uzunluğu:
|GH| = \sqrt{(8 - 6)^2 + \left(0 - \frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{a^2}{9}} = \frac{\sqrt{36 + a^2}}{3}
13. a değerini bulmak için AB uzunluğunu hesaplayalım.
AB = a.
AC = \sqrt{(18)^2 + a^2} = \sqrt{324 + a^2}.
BC = 18.
A dik açı olduğuna göre:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Yerine koyarsak:
a^2 + (324 + a^2) = 18^2
a^2 + 324 + a^2 = 324
2a^2 + 324 = 324
2a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 0 \Rightarrow a=0
Bu çelişkiyi çözmek için A noktasını farklı alalım.
14. Alternatif yaklaşım: A noktasını y ekseni üzerinde değil, başka bir yerde alalım.
B = (0,0)
C = (18,0)
A = (0,a) dik açı değil.
Ama verilenlere göre AB \perp AC.
Eğim AB:
m_{AB} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{a - 0}{0 - 0} = \text{sınırsız} \Rightarrow \text{dikey}
Eğim AC:
m_{AC} = \frac{0 - a}{18 - 0} = -\frac{a}{18}
Dikey ve eğimli doğruların çarpımı -1 olmalı.
Dikey doğrunun eğimi sonsuz, bu nedenle AB \perp AC sağlanıyor.
Ancak A noktası y ekseni üzerinde olmalı.
15. AB = 8 birim olarak verilmiş mi?
Hayır, sadece BH=8 ve HC=10 verilmiş.
16. AB uzunluğunu bulalım:
AB = |a|.
17. AC uzunluğu:
AC = \sqrt{(18)^2 + a^2} = \sqrt{324 + a^2}
18. ABC dik üçgeninde A dik açı olduğuna göre:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Yerine koyarsak:
a^2 + (324 + a^2) = 18^2
a^2 + 324 + a^2 = 324
2a^2 + 324 = 324
2a^2 = 0 \Rightarrow a=0
Bu çelişkiyi çözmek için A noktasını y ekseni üzerinde değil, farklı bir yerde alalım.
19. A noktasını x ekseni üzerinde alalım.
B = (0,0)
C = (18,0)
A = (x_A,y_A)
AB \perp AC ve A dik açı.
20. AB doğrusu B=(0,0) ile A=(x_A,y_A) arası.
Eğim:
m_{AB} = \frac{y_A - 0}{x_A - 0} = \frac{y_A}{x_A}
21. AC doğrusu A=(x_A,y_A) ile C=(18,0) arası.
Eğim:
m_{AC} = \frac{0 - y_A}{18 - x_A} = \frac{-y_A}{18 - x_A}
22. AB \perp AC ise:
m_{AB} \cdot m_{AC} = -1
Yerine koyarsak:
\frac{y_A}{x_A} \cdot \frac{-y_A}{18 - x_A} = -1
-\frac{y_A^2}{x_A (18 - x_A)} = -1
\frac{y_A^2}{x_A (18 - x_A)} = 1
y_A^2 = x_A (18 - x_A)
23. H noktası BC üzerinde ve BH=8, HC=10 olduğuna göre:
B=(0,0), C=(18,0), H=(8,0).
24. G ağırlık merkezi koordinatları:
G = \left( \frac{x_A + 0 + 18}{3}, \frac{y_A + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{x_A + 18}{3}, \frac{y_A}{3} \right)
25. GH uzunluğu:
|GH| = \sqrt{(8 - \frac{x_A + 18}{3})^2 + \left(0 - \frac{y_A}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(8 - \frac{x_A + 18}{3}\right)^2 + \left(\frac{y_A}{3}\right)^2}
26. GH = x olarak verilmiş.
27. GH uzunluğunu sadeleştirelim:
8 - \frac{x_A + 18}{3} = \frac{24 - x_A - 18}{3} = \frac{6 - x_A}{3}
O halde:
|GH| = \sqrt{\left(\frac{6 - x_A}{3}\right)^2 + \left(\frac{y_A}{3}\right)^2} = \frac{1}{3} \sqrt{(6 - x_A)^2 + y_A^2}
28. y_A^2 = x_A (18 - x_A) olduğuna göre:
|GH| = \frac{1}{3} \sqrt{(6 - x_A)^2 + x_A (18 - x_A)}
29. Açalım:
(6 - x_A)^2 + x_A (18 - x_A) = (36 - 12 x_A + x_A^2) + (18 x_A - x_A^2) = 36 - 12 x_A + x_A^2 + 18 x_A - x_A^2 = 36 + 6 x_A
30. Sonuç:
|GH| = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 6 x_A} = \frac{1}{3} \sqrt{6 (6 + x_A)} = \frac{\sqrt{6}}{3} \sqrt{6 + x_A}
31. x_A değerini bulmak için H noktasının GH \perp BC koşulunu kullanalım.
GH \perp BC olduğuna göre, GH doğrusu BC'ye diktir.
BC doğrusu x ekseni üzerinde, yani eğimi 0.
GH doğrusu dik olduğuna göre, GH doğrusu dikey olmalı.
G = \left( \frac{x_A + 18}{3}, \frac{y_A}{3} \right)
H = (8,0)
GH doğrusu eğimi:
m_{GH} = \frac{\frac{y_A}{3} - 0}{\frac{x_A + 18}{3} - 8} = \frac{\frac{y_A}{3}}{\frac{x_A + 18 - 24}{3}} = \frac{y_A / 3}{(x_A - 6)/3} = \frac{y_A}{x_A - 6}
32. GH \perp BC ve BC eğimi 0 olduğuna göre, GH eğimi sonsuz olmalı.
Yani:
x_A - 6 = 0 \Rightarrow x_A = 6
33. x_A = 6 ise, y_A^2 = x_A (18 - x_A) = 6 \times (18 - 6) = 6 \times 12 = 72
y_A = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}
34. |GH| uzunluğunu hesaplayalım:
|GH| = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 6 x_A} = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 6 \times 6} = \frac{1}{3} \sqrt{36 + 36} = \frac{1}{3} \sqrt{72} = \frac{1}{3} \times 6 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}
Sonuç:
|GH| = 2 \sqrt{2}
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç / Formül |
|---|---|---|
| 1 | B=(0,0), C=(18,0), H=(8,0) | |
| 2 | A=(x_A,y_A), AB \perp AC | y_A^2 = x_A (18 - x_A) |
| 3 | G ağırlık merkezi | G = \left(\frac{x_A + 18}{3}, \frac{y_A}{3}\right) |
| 4 | GH uzunluğu | $ |
| 5 | GH \perp BC ve BC eğimi 0 | x_A = 6 |
| 6 | y_A^2 = 6 \times 12 = 72 | y_A = 6 \sqrt{2} |
| 7 | $ | GH |
Cevap: E) 2 \sqrt{2}