Question:
Soru 12 b: Aşağıdaki şekilde G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. [AG] açıortay, |AG| = 8 birim ve |BG| = √41 birimdir. Buna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
Table of Contents
1. Problemin İncelenmesi
Verilenler:
- G noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezi (centroid).
- AG, A köşesinden BC kenarına inen açıortay.
- |AG| = 8 birim.
- |BG| = √41 birim.
- Şekilde ayrıca açı A’daki iki kırmızı işaret, AB = AC olduğunu (eşkenar taraflılık değil, isosceles durumunu) gösteriyor.
Sorulan: ABC üçgeninin çevresi = AB + BC + CA kaç birim?
2. Gerekli Teorik Bilgiler
-
Ağırlık Merkezi (Centroid):
- Üçgenin üç kenarortayının kesim noktasıdır.
- Teorem: Ağırlık merkezi, her kenarortayı 2:1 oranında böler.
- Köşeden merkeze olan parça, kenarortayın tamamının $\tfrac{2}{3}$’üdür.
- Özet: AG = \frac{2}{3}\,AD ⇒ AD = \frac{3}{2}\,AG.
-
İsosceles Üçgen Özelliği:
- Eğer bir üçgende bir açı ortayı aynı zamanda kenarortay ise, o üçgen eş kenar (AB = AC) olmak zorundadır.
- Böylece açıortay, aynı zamanda yükseklik işlevi görür; BC tabanına dik iner.
-
Koordinat Yaklaşımı:
- Kolaylık için BC’yi x-ekseni üzerine yerleştiririz.
- B = (−x, 0), C = (x, 0), A = (0, h) olarak alırsak:
- BC = 2x,
- Yükseklik AD = h,
- Ağırlık merkezi G = \bigl(\tfrac{-x + x + 0}{3}\,,\,\tfrac{0 + 0 + h}{3}\bigr) = (0,\tfrac{h}{3}).
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: AD kenarortayının uzunluğunu bulun
- AG = 8, centroid’ten köşeye olan parça, kenarortayın $\tfrac{2}{3}’ü olduğuna göre:
AD = \frac{3}{2},AG = \frac{3}{2}\times 8 = 12
$ - Dolayısıyla tabana indirilen yükseklik h = AD = 12 birim.
Adım 2: Koordinat yerleştirmesi ve G noktasının koordinatları
- B = (−x, 0), C = (x, 0), A = (0, 12).
- G = \bigl(0,\tfrac{12}{3}\bigr) = (0,4).
Adım 3: BG uzunluğunu kullanarak x’i bulun
- BG = \sqrt{(0-(-x))^2 + (4-0)^2} = \sqrt{x^2 + 16} = \sqrt{41}
- Karelerini alalım:x^2 + 16 = 41 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x = 5
- Böylece BC = 2x = 10 birim.
Adım 4: AB = AC kenar uzunluğunu hesaplayın
- AB = mesafe A(0,12) ile B(−5,0) arasında:
AB = \sqrt{(0+5)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 - Benzer şekilde AC = 13 birim (simetri).
Adım 5: Çevreyi bulun
- Çevre P = AB + BC + CA = 13 + 10 + 13 = 36 birim.
4. Sonuç ve Özet Tablo
| Parametre | Bulunan Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| AG | 8 birim | Verilen |
| AD (kenarortay) | 12 birim | AD=\tfrac{3}{2}AG |
| h (yükseklik) | 12 birim | İsosceles’te açıortay = yükseklik |
| BG | √41 birim | Verilen |
| x | 5 birim | Koordinattan x^2+16=41\implies x=5 |
| BC | 10 birim | 2x=10 |
| AB=AC | 13 birim | AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13 |
| Çevre P | 36 birim | 13+13+10=36 |
Cevap: 36 (D şıkkı)
Özet:
- Ağırlık merkezi özelliğiyle AG kenarortayın $\tfrac{2}{3}$’ü olduğu anlaşıldı.
- İsosceles üçgende açıortay, kenarortay ve yükseklik aynı doğru üzerinde.
- Koordinat yaklaşımıyla BG’den x=5 bulunup taban uzunluğu 10, yan kenarlar 13 olarak tespit edildi.
- Çevre 13 + 13 + 10 = 36 birimdir.
Soru 12 b: ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
Verilenler:
- G noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
- AG açıortaydır.
- |AG| = 8 birim.
- |BG| = \sqrt{41} birim.
- AG açıortaydır, yani AG aynı zamanda A köşesinden BC kenarına çizilen açıortaydır.
Çözüm:
1. Ağırlık merkezi (G) özellikleri:
Bir üçgenin ağırlık merkezi, köşelerden çizilen kenarortayların kesişim noktasıdır. Ağırlık merkezi, her kenarortayı 2:1 oranında böler. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenarortayın diğer ucuna olan uzaklığın 2 katıdır.
Burada AG kenarortayın bir parçası ve BG kenarortayın diğer parçası gibi verilmiş. Ancak dikkat: AG açıortay olarak verilmiş, ama G ağırlık merkezi olduğuna göre AG kenarortaydır.
Bu durumda AG kenarortaydır ve G ağırlık merkezi olduğundan:
- AG : GD = 2 : 1 (D, BC kenarının orta noktasıdır)
- |AG| = 8 birim ise, |GD| = \frac{8}{2} = 4 birim olur.
- Böylece |AD| = |AG| + |GD| = 8 + 4 = 12 birim.
Ancak soruda BG = \sqrt{41} verilmiş. BG burada neyi ifade ediyor?
BG kenarortayın bir parçası olarak verilmiş olabilir. BG kenarortay değil, BG kenar olabilir.
Ama soruda AG açıortay olarak verilmiş. Bu çelişkiyi çözmek için dikkatlice bakalım.
2. Sorunun doğru yorumlanması:
- AG açıortaydır.
- |AG| = 8 birim.
- |BG| = \sqrt{41} birim.
- G ağırlık merkezi.
Burada AG açıortaydır, yani A köşesinden BC kenarına çizilen açıortaydır.
Ağırlık merkezi G, kenarortayların kesişim noktasıdır. Ancak AG açıortaydır, yani AG kenarortay değildir.
Bu durumda G noktası açıortay üzerinde ve aynı zamanda ağırlık merkezi.
Bu mümkün olabilir ancak AG açıortay ve G ağırlık merkezi ise, AG kenarortaydır.
Bu durumda AG açıortay ve kenarortaydır, yani AG hem açıortay hem kenarortaydır.
Bu ancak ABC üçgeninin ikizkenar olması durumunda mümkündür.
3. AG açıortay ve kenarortay ise ABC ikizkenar üçgendir.
AG açıortay ve kenarortay ise AB = AC olur.
4. G ağırlık merkezi olduğuna göre, G kenarortay üzerinde ve AG : GD = 2 : 1.
Burada D, BC kenarının orta noktasıdır.
AG = 8 birim ise, GD = \frac{8}{2} = 4 birim.
Böylece AD = AG + GD = 8 + 4 = 12 birim.
5. BG = \sqrt{41} verilmiş.
BG burada B köşesinden G ağırlık merkezine olan uzaklıktır.
6. G ağırlık merkezi koordinat yöntemi ile bulunabilir.
ABC üçgeninde ağırlık merkezi G koordinatları:
G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
7. Çözüm için koordinat sistemi kurulması:
- BC kenarını x ekseni üzerine yerleştirelim.
- B noktası orijinde olsun: B(0,0).
- C noktası x ekseni üzerinde: C(c,0).
- A noktası ise y ekseni üzerinde: A(a_y), x koordinatı bilinmiyor.
8. D noktası BC kenarının orta noktasıdır:
D \left( \frac{0 + c}{2}, 0 \right) = \left( \frac{c}{2}, 0 \right)
9. AG açıortaydır.
Açıortay AG A noktasından BC kenarına çizilir.
10. G ağırlık merkezi olduğuna göre:
G = \left( \frac{0 + c + x_A}{3}, \frac{0 + 0 + y_A}{3} \right) = \left( \frac{c + x_A}{3}, \frac{y_A}{3} \right)
11. AG uzunluğu 8 birimdir.
AG = |A - G| = \sqrt{ \left( x_A - \frac{c + x_A}{3} \right)^2 + \left( y_A - \frac{y_A}{3} \right)^2 } = 8
Hesaplayalım:
x \text{ farkı} = x_A - \frac{c + x_A}{3} = \frac{3x_A - c - x_A}{3} = \frac{2x_A - c}{3}
y \text{ farkı} = y_A - \frac{y_A}{3} = \frac{2y_A}{3}
$
AG^2 = \left( \frac{2x_A - c}{3} \right)^2 + \left( \frac{2y_A}{3} \right)^2 = 64
$
$
\Rightarrow \frac{(2x_A - c)^2 + (2y_A)^2}{9} = 64
$
$
(2x_A - c)^2 + (2y_A)^2 = 576
$
12. BG = \sqrt{41} verilmiş.
B(0,0) ve G \left( \frac{c + x_A}{3}, \frac{y_A}{3} \right) olduğuna göre:
$
BG = \sqrt{ \left( \frac{c + x_A}{3} \right)^2 + \left( \frac{y_A}{3} \right)^2 } = \sqrt{41}
$
$
\Rightarrow \left( \frac{c + x_A}{3} \right)^2 + \left( \frac{y_A}{3} \right)^2 = 41
$
$
\Rightarrow (c + x_A)^2 + y_A^2 = 369
$
13. A noktası x_A, y_A bilinmiyor.
Ancak A noktası x eksenine göre simetrik olabilir.
14. AG açıortaydır.
Açıortay formülü:
Açıortay AD uzunluğu:
$
AD = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c}
$
Ama burada AG açıortaydır, AG = 8 birim.
15. ABC üçgeni ikizkenar olduğundan AB = AC.
AB = AC ise x_A = \frac{c}{2} olur.
16. x_A = \frac{c}{2} olarak alalım.
17. Şimdi denklemleri yerine koy:
- (2x_A - c)^2 + (2y_A)^2 = 576
x_A = \frac{c}{2} ise:
$
2x_A - c = 2 \cdot \frac{c}{2} - c = c - c = 0
$
$
(2x_A - c)^2 = 0
$
$
(2y_A)^2 = 576 \Rightarrow 4 y_A^2 = 576 \Rightarrow y_A^2 = 144 \Rightarrow y_A = 12
$
18. BG denklemi:
$
(c + x_A)^2 + y_A^2 = 369
$
x_A = \frac{c}{2}, y_A = 12 ise:
$
\left( c + \frac{c}{2} \right)^2 + 144 = 369
$
$
\left( \frac{3c}{2} \right)^2 + 144 = 369
$
$
\frac{9 c^2}{4} = 369 - 144 = 225
$
$
9 c^2 = 900
$
$
c^2 = 100 \Rightarrow c = 10
$
19. c = 10, x_A = \frac{10}{2} = 5, y_A = 12.
20. Kenar uzunluklarını bulalım:
-
AB = \sqrt{(x_A - 0)^2 + (y_A - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
-
AC = \sqrt{(10 - 5)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13
-
BC = c = 10
21. Üçgenin çevresi:
$
P = AB + BC + AC = 13 + 10 + 13 = 36
$
Cevap:
D şıkkı: 36
Özet Tablosu
| Bilgi | Değer |
|---|---|
| AG (açıortay uzunluğu) | 8 birim |
| BG (ağırlık merkezine uzaklık) | \sqrt{41} birim |
| AB = AC (ikizkenar kenarlar) | 13 birim |
| BC (taban) | 10 birim |
| Üçgenin çevresi | 36 birim |