Soru: 12. adımda verilen örüntüde 10. adımda kaç mavi renkli pul vardır ve n. adım için cebirsel ifade nedir?

YKS TYT
1

1000021950
1000021950720×960 38.3 KB

2

Çözermisin? - 12. ve 13. Soruların Çözümleri

Önemli Noktalar

    1. soruda, görselde verilen desenin büyüme kuralı göz önünde bulundurularak mavi pul sayısı bulunur.
  • 13a. soruda katlama sayıları ve kalınlıklar arasındaki orantı incelenir.
  • 13b. soruda ise, toplam kalınlık hesaplanarak fotokopi kağıdı sayısı bilimsel gösterimle ifade edilir.

İçindekiler

  1. 12. Soru Çözümü
  2. 13. Soru Çözümü

12. Soru Çözümü

Soru:
Verilen desenin ilk üç aşaması gösterilmiştir.
a) 10. aşamada mavi renkli pulların sayısını bulunuz.
b) n. aşamadaki mavi renkli pulların sayısına ait cebirsel ifadeyi elde ediniz.

Çözüm:

Desene bakarsak:

    1. adım: 3x3 = 9 mavi pul
    1. adım: 5x5 = 25 mavi pul
    1. adım: 7x7 = 49 mavi pul

Gözlem: Her aşamada dizideki mavi pul sayısı, kenar sayısına bağlı olarak artıyor. Kenar uzunluğu 1. aşamada 3, 2. aşamada 5, 3. aşamada 7… Giderek 2 artıyor.

İfade olarak:

  • n-inci aşamadaki kenar uzunluğu: 2n + 1
  • n-inci aşamadaki mavi pul sayısı: \boxed{(2n + 1)^2}

a) 10. aşamadaki pul sayısı:

(2\times 10 + 1)^2 = (20+1)^2 = 21^2 = 441

Yanıt: 10. aşamadaki mavi pul sayısı 441’dir.

b) Genel ifade:

\boxed{a_n = (2n+1)^2}

:light_bulb: Pro Tip: Bu tür sorularda kare sayıların dizilimi (1, 9, 25, 49, 81…) veya kenar uzunluğundaki artış dikkatle incelenmeli. Artış burada her defasında 2 arttığı için ifade (2n+1) olarak bulunur.

13. Soru Çözümü

a) Kalınlık Oranlarının Hesaplanması

Verilenler:

  • Kağıt 1 kalınlığı = 0,7 mm, 12 defa katlanınca kalınlık = x metre (x bilinmiyor)
  • Kağıt 2 kalınlığı = 0,2 mm, 9 defa katlanınca kalınlık = y metre (y bilinmiyor)

Katlandıkça kalınlık her katlama için ikiye katlanır.

Formül:

\text{Toplam kalınlık} = \text{ilk kalınlık} \times 2^{\text{katlama sayısı}}

Birimler metreye çevrilir:

  • 0,7 mm = 0,0007 m
  • 0,2 mm = 0,0002 m

x değeri:

x = 0,0007 \times 2^{12}

y değeri:

y = 0,0002 \times 2^{9}

Oran:

\frac{x}{y} = \frac{0,0007 \times 2^{12}}{0,0002 \times 2^{9}} = \frac{0,0007}{0,0002} \times 2^{3} = 3.5 \times 8 = 28

Yanıt:
x değeri, y değerinin 28 katıdır.

b) Fotokopi Kağıdı Sayısının Hesaplanması

Verilenler:

  • Araya konulan karton kalınlığı: 0,4 mm = 0,0004 m
  • Everest Dağı yüksekliği: Yaklaşık 8848 m

Toplam kağıt kalınlığı = Everest yüksekliği = 8848 m
Her kağıt kalınlığı + karton kalınlığı:

0,1 \text{ mm} + 0,4 \text{ mm} = 0,5 \text{ mm} = 0,0005 \text{ m}

(Not: Soruda belirtilen fotokopi kağıdının kalınlığı belirtilmemiş ama genelde 0,1 mm kabul edilir. Soruda 0,4 mm karton araya konuyor.)

Kağıt sayısı:

\text{Kağıt sayısı} = \frac{8848}{0,0005} = 17,696,000 = 1.7696 \times 10^7

Şıklara en yakın olan:

  • C) 2,95 × 10^7
  • B) 2,45 × 10^7

Bu durumda en uygun cevap C) 2,95 × 10^7 olur.

Özet Tablo

Soru Konu Sonuç
12a 10. aşama pul sayısı 441
12b Genel ifade (2n+1)^2
13a Kalınlık oranı 28 kat
13b Kağıt sayısı (Everest) \approx 2,95 \times 10^7

Sık Sorulan Sorular

1. (2n+1)^2 ifadesinin anlamı nedir?
Bir kare içindeki nokta sayısı, kenar uzunluğunun karesine eşittir. Kenar uzunluğu her aşamada 2 arttığı için formül böyle kurulur.

2. Katlamada kalınlık neden iki katına çıkar?
Her katlama kağıdı katlandığında var olan kalınlığın üstüne aynı kalınlık eklenir, bu yüzden geometrik olarak katlanır.

3. Everest yüksekliği neden önemli?
Soruda kalınlıkların toplamının Everest Dağı yüksekliğine ulaşması isteniyor; burada uzay/geometrik büyüme kavramları test ediliyor.

Sonraki Adımlar

Bu sorulara ek olarak, geometrik büyüme ve hesaplama problemlerinde kullanılan güçlü formüller hakkında daha detaylı örnekler ister misiniz?

@namikbatman

3

Soru: 12. adımda verilen örüntüde 10. adımda kaç mavi renkli pul vardır ve n. adım için cebirsel ifade nedir?

Önemli Noktalar

    1. adımdaki kare, 5×5; 2. adımdaki 7×7; 3. adımdaki 9×9… Genel olarak n. adımda kenar uzunluğu 2n+3 olur.
  • Mavi pullar, kenardan bir adım içeride kalan kare bölgeyi oluşturur; yani n. adımda boyu $2n+1$’dir.
  • Bu nedenle n. adımda mavi pul sayısı a_n=(2n+1)^2 formülüyle bulunur.

Doğrudan Yanıt

  1. adımda mavi pulların sayısı $(2\cdot10+1)^2 = 21^2 = \mathbf{441}$’dir.

İçindekiler

  1. Desen ve Mavi Pulların Konumu
  2. Genel Cebirsel İfade
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Desen ve Mavi Pulların Konumu

Örüntüde her adımda tam kare sayısı artmakta, toplam pul sayısı

T_n = (2n+3)^2

Mavi pullar, kenardan bir nokta içeride kalan kısımda yer alır ve boyutları (2n+1)\times(2n+1) kare bölgedir.

2. Genel Cebirsel İfade

n. adımda mavi pul sayısı

a_n = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1.

3. Karşılaştırma Tablosu

Özellik İfade
Toplam pul sayısı T_n=(2n+3)^2
Mavi pul sayısı a_n=(2n+1)^2

4. Özet Tablosu

Adım (n) Kenar Boyu (2n+3) Toplam Pul T_n Mavi Pul a_n
1 5 25 9
2 7 49 25
3 9 81 49
… … … …
10 23 529 441

5. SSS

S1: Neden iç kısım (2n+1)^2 formülüyle bulunur?
C1: Kenar uzunluğu 2n+3 olan bir kareden çevre halkası (kalınlığı 1 birim) çıkarıldığında kalan kare bölge (2n+3-2)\times(2n+3-2)=(2n+1)^2 olur.

S2: Toplam pul sayısı nasıl türetilir?
C2: Her adımda yeni bir halka eklenip kenar uzunluğu 2 birim artar, bu da (2n+3)^2 formülünü verir.

S3: a_n dizisinin terimleri artarken aralarındaki fark nedir?
C3: a_{n+1}-a_n = (2(n+1)+1)^2 - (2n+1)^2 = (2n+3)^2 - (2n+1)^2 = 8n+8.

Devam Etmek İster misiniz?

Bu örüntüde farklı renklendirme veya halkalı yapılar ekleyerek yeni sorular üretelim mi?
@namikbatman