Étude Complète de la Fonction Rationnelle g(x)
FORMULES ET RÈGLES UTILISÉES :
- Dérivée d’un quotient : \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
- Équation de la tangente en x_0 : y = g'(x_0)(x - x_0) + g(x_0)
- Théorème de la bijection : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f(I) et admet une fonction réciproque f^{-1}.
- Dérivée d’une fonction réciproque : Si f(x_0) = y_0 et f'(x_0) \neq 0, alors f^{-1} est dérivable en y_0 et :
(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}
ÉTAPES DE RÉSOLUTION :
Étape 1 — Détermination du domaine D_g et calcul des limites à l’infini
Le dénominateur s’annule lorsque (x - 1)^2 = 0, soit x = 1. L’ensemble de définition est donc :
D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty ; 1[ \;\cup\; ]1 ; +\infty[
Pour les limites en l’infini d’une fonction rationnelle, on prend le quotient des termes de plus haut degré :
\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1
\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1
Étape 2 — Dérivabilité et calcul de la dérivée g'(x)
g est le quotient de deux fonctions polynômes définies sur \mathbb{R}, avec un dénominateur non nul sur D_g. Elle est donc dérivable sur D_g.
Posons u(x) = x^2 + x + 1 \implies u'(x) = 2x + 1 et v(x) = (x - 1)^2 \implies v'(x) = 2(x - 1).
Pour tout x \in D_g :
g'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1)^2 - 2(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)^4}
En factorisant le numérateur par (x - 1) :
g'(x) = \frac{(x - 1)\left[(2x + 1)(x - 1) - 2(x^2 + x + 1)\right]}{(x - 1)^4}
g'(x) = \frac{(2x^2 - x - 1) - (2x^2 + 2x + 2)}{(x - 1)^3}
g'(x) = \frac{-3x - 3}{(x - 1)^3} = \frac{-3(x + 1)}{(x - 1)^3}
Étape 3 — Tableau des variations de g
Le signe de g'(x) dépend du numérateur -3(x + 1) et du dénominateur (x - 1)^3 :
- -3(x + 1) = 0 \iff x = -1
- (x - 1)^3 change de signe en x = 1 (valeur interdite).
Étude des signes :
- Sur ]-\infty ; -1[ : -3(x + 1) > 0 et (x - 1)^3 < 0 \implies g'(x) < 0
- Sur ]-1 ; 1[ : -3(x + 1) < 0 et (x - 1)^3 < 0 \implies g'(x) > 0
- Sur ]1 ; +\infty[ : -3(x + 1) < 0 et (x - 1)^3 > 0 \implies g'(x) < 0
Valeurs particulières et limites en 1 :
g(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{(-1 - 1)^2} = \frac{1}{4}
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty
Tableau de variations :
| x |
-\infty |
|
-1 |
|
1 |
|
+\infty |
| -3(x+1) |
|
+ |
0 |
- |
|
- |
|
| (x-1)^3 |
|
- |
|
- |
0 |
+ |
|
| g'(x) |
|
- |
0 |
+ |
| |
- |
|
| g(x) |
1 |
\searrow |
\frac{1}{4} |
\nearrow |
+\infty \;\;|\;\; +\infty |
\searrow |
1 |
Étape 4 — Équation de la tangente au point d’abscisse x_0 = 2
Calculons l’image et le nombre dérivé en x_0 = 2 :
g(2) = \frac{2^2 + 2 + 1}{(2 - 1)^2} = \frac{7}{1} = 7
g'(2) = \frac{-3(2 + 1)}{(2 - 1)^3} = \frac{-9}{1} = -9
L’équation de la tangente est donnée par :
y = g'(2)(x - 2) + g(2)
y = -9(x - 2) + 7 \iff y = -9x + 18 + 7 \iff y = -9x + 25
Étape 5 — Étude de la fonction réciproque h^{-1}
a) Sur l’intervalle I = ]1 ; +\infty[, la fonction h est continue (fonction rationnelle) et strictement décroissante.
D’après le théorème de la bijection, h réalise une bijection de I vers l’intervalle J = h(I) :
J = \left]\lim_{x \to +\infty} h(x) \; ; \; \lim_{x \to 1^+} h(x)\right[ = ]1 ; +\infty[
Ainsi, h admet une fonction réciproque h^{-1} définie sur J = ]1 ; +\infty[.
b) On a h(2) = 7, ce qui implique h^{-1}(7) = 2.
Comme h est dérivable en x_0 = 2 et que h'(2) = -9 \neq 0, la fonction réciproque h^{-1} est dérivable en 7 et l’on a :
(h^{-1})'(7) = \frac{1}{h'(h^{-1}(7))} = \frac{1}{h'(2)} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}
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RÉPONSE FINALE :
- D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} ; \lim_{x \to +\infty} g(x) = 1 et \lim_{x \to -\infty} g(x) = 1.
- g est dérivable sur D_g et \forall x \in D_g, \; g'(x) = \frac{-3(x + 1)}{(x - 1)^3}.
- g est strictement décroissante sur ]-\infty ; -1], strictement croissante sur [-1 ; 1[ et strictement décroissante sur ]1 ; +\infty[.
- Équation de la tangente : y = -9x + 25.
- a) h^{-1} est définie sur J = ]1 ; +\infty[.
b) h^{-1} est dérivable en 7 et (h^{-1})'(7) = -\frac{1}{9}.
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NOTIONS CLÉS :
- Fonction réciproque : Pour qu’une fonction admette une fonction réciproque continue, il suffit qu’elle soit continue et strictement monotone sur un intervalle donné.
- Dérivation de la réciproque : La condition primordiale pour la dérivabilité de h^{-1} en y_0 est que h'(x_0) \neq 0 avec h(x_0) = y_0.
ERREURS COURANTES :
Approche Incorrecte : Développer le dénominateur (x-1)^4 ou oublier de factoriser par (x-1) au numérateur de g', ce qui alourdit considérablement les calculs.- Approche Correcte : Simplifier systématiquement par (x-1) après la factorisation au numérateur avant de regrouper les termes.
Souhaites-tu déterminer l’expression explicite de h^{-1}(x) pour x \in ]1 ; +\infty[ ?
