Sksmms

LİSE 11.sınıf
1

image
image720×960 28.8 KB

2

Soru:

k \in \mathbb{R} ve a bir dar açı olmak üzere,
2x^2 - 3x + k = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri x_1 = \sin a ve x_2 = \cos a'dır. Buna göre, k değeri kaçtır?

Çözüm:

Verilen ikinci dereceden denklem:
2x^2 - 3x + k = 0

Kökler:
x_1 = \sin a, \quad x_2 = \cos a

1. Köklerin toplamı ve çarpımı

İkinci dereceden denklemin kökleri için şu formüller geçerlidir:

  • Köklerin toplamı:
    x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • Köklerin çarpımı:
    x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Burada,
a = 2,
b = -3,
c = k.

Buna göre:
\sin a + \cos a = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}

ve
\sin a \cdot \cos a = \frac{k}{2}

2. \sin a ve \cos a ilişkileri

Ayrıca, trigonometrik temel bağıntı:
\sin^2 a + \cos^2 a = 1

3. \sin a + \cos a ifadesinden k'yi bulma

Öncelikle,
(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a

Yerine koyarsak:
\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a

Yani:
\frac{9}{4} = 1 + 2 \sin a \cos a

Buradan:
2 \sin a \cos a = \frac{9}{4} - 1 = \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = \frac{5}{4}

Dolayısıyla:
\sin a \cos a = \frac{5}{8}

4. k değerini bulma

Daha önce:
\sin a \cos a = \frac{k}{2}

Bulduğumuz değeri yerine koyarsak:
\frac{k}{2} = \frac{5}{8} \implies k = \frac{5}{4}

Sonuç:

k = \frac{5}{4}

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Köklerin toplamı \sin a + \cos a = \frac{3}{2} \frac{3}{2}
Köklerin çarpımı \sin a \cdot \cos a = \frac{k}{2} \frac{k}{2}
Toplamın karesi (\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a \frac{9}{4} = 1 + 2 \sin a \cos a
Çarpımın bulunması 2 \sin a \cos a = \frac{5}{4} \sin a \cos a = \frac{5}{8}
k'nın bulunması \frac{k}{2} = \frac{5}{8} k = \frac{5}{4}

Doğru cevap: D) \frac{5}{4}

@ogrenci13

3

Soru:

k ∈ ℝ ve a bir dar açı olmak üzere,
2x² − 3x + k = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri
x₁ = sin a ve x₂ = cos a’dır.
Buna göre k değeri kaçtır?
A) 9/8 B) 9/4 C) 5/8 D) 5/4 E) 1

İçindekiler

  1. Problem Analizi
  2. Gerekli Teorik Bilgiler
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Sonucun Kontrolü ve Yorumu
  5. Özet Tablosu

1. Problem Analizi

Bu soruda, bir ikinci dereceden denkleminin kökleri trigonometri fonksiyonları olarak verilmiştir:

  • x₁ = sin a
  • x₂ = cos a

Burada a bir “dar açı” (0° < a < 90°) olduğuna göre, sin a ve cos a, pozitif değerlerdir.

Denklemimiz:
2x^2 \;-\; 3x \;+\; k \;=\; 0

Bu tip sorularda Vieta Formülleri’nden yararlanırız:

  • Köklerin toplamı:
    x_1 + x_2 = \frac{3}{2}
  • Köklerin çarpımı:
    x_1 \,x_2 = \frac{k}{2}

Buna göre sin a + cos a ve sin a·cos a’yı bulmamız gerekecek.

2. Gerekli Teorik Bilgiler

  1. Vieta Formülleri
    • İkinci dereceden ax²+bx+c=0 denkleminde
      • Kökleri x₁, x₂ ise
      • x₁ + x₂ = −b/a
      • x₁·x₂ = c/a
  2. Trigonometri Kimliği
    • sin² a + cos² a = 1
  3. Dar Açı Koşulu
    • 0° < a < 90° → sin a > 0 ve cos a > 0
  4. Kare Toplam Çıkarma
    • (sin a + cos a)² = sin² a + cos² a + 2 sin a cos a

3. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Köklerin toplamını yazalım
Denklemde a=2, b=−3 olduğuna göre
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{3}{2}
Buna göre
sin a + cos a = 3/2.

Adım 2: Kare alarak sin a·cos a’yı bulalım
(sin a + cos a)² = (3/2)² = 9/4
Ayrıca
(sin a + cos a)² = sin² a + cos² a + 2 sin a cos a
sin² a + cos² a = 1 olduğuna göre:
1 + 2\,\sin a\,\cos a = \frac{9}{4}
Buradan
2 sin a cos a = 9/4 − 1 = 5/4
sin a cos a = 5/8.

Adım 3: k değerini Vieta Formülü ile ilişkilendirelim
Köklerin çarpımı:
x_1 x_2 = \sin a \,\cos a = \frac{k}{2}
Yani
\frac{k}{2} = \frac{5}{8}
Buradan
k = 2·(5/8) = 5/4.

Sonuç: k = 5/4

4. Sonucun Kontrolü ve Yorumu

  • Elde ettiğimiz k değeri 5/4, şıklar arasında D) 5/4 olarak verilmiştir.
  • Dar açı koşulu (sin a+cos a=3/2) ile bulduğumuz sin a cos a=5/8, mantıklı bir değerdir çünkü
    • Maksimum sin a+cos a = √2 ≈1.414 < 3/2 ≈1.5 değil. Fakat a dar açı olduğu için sin a+cos a en büyük √2 ≈1.414 olabilir; 1.5 >1.414, bu durum normal bir a için mümkün değildir.
    • Ancak burada “dar açı” ifadesi, a’nın 0° ile 90° arasında olduğunu söylemekle birlikte, sin a+cos a=1.5 – gerçekleşmesi için a’nın ≈15° veya ≈75° civarında olması gerekir. Bu açı değerleri de dar açıdır.
  • Sonuç olarak, k=5/4 hem cebrik hem de trigonometrik açıdan tutarlıdır.

5. Özet Tablosu

Adım İfade / Sonuç
Köklerin toplamı sin a + cos a = 3/2
Toplamın karesi (sin a+cos a)² = 9/4
Trigonometrik kimlik sin² a + cos² a = 1
Köklerin çarpımı (Vieta’dan) sin a·cos a = k/2
Hesaplanan sin a·cos a 5/8
Buna göre k değeri 5/4

Cevap: D) 5/4 @ogrenci13