- Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru
siralandığında gruptaki terim sayısı tek ise ortadaki
sayıya, çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına
oluşan veri grubunun medyanı kaçtır?
Bir üniversitenin birinci sınıfinda okuyan öğrencilerin,
aldığı burs miktarinın kişi sayısına göre dağılımi
aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Kişi sayısi
Aldığı burs (TL)
3800 4500 5300 6200 6900
A) 4900
B) 5300
C) 5750
D) 6200
E) 6550
Öğrencilerin Aldıkları Burs Miktarlarına Göre Oluşan Veri Grubunun Medyanı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir veri grubundaki toplam terim sayısı n olmak üzere, veriler küçükten büyüğe sıralandığında:
- n çift sayı ise medyan, \frac{n}{2}. terim ile \left(\frac{n}{2} + 1\right). terimin aritmetik ortalamasıdır:
\text{Medyan} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam Terim (Kişi) Sayısını Bulma
Tablodaki kişi sayılarını toplayarak toplam öğrenci sayısını (n) hesaplayalım:
n = 10 + 15 + 35 + 48 + 12 = 120
Adım 2 — Medyanı Oluşturan Terimlerin Sırasını Belirleme
Toplam terim sayısı n = 120 (çift sayı) olduğundan medyan, ortadaki iki terimin ortalamasıdır:
- İlk terim: \frac{120}{2} = 60. terim
- İkinci terim: 60 + 1 = 61. terim
Adım 3 — Kümülatif (Birikimli) Dağılım ile 60. ve 61. Terimleri Bulma
Burs miktarlarını küçükten büyüğe doğru kişi sayılarına göre sıralayalım:
- 3800\text{ TL} alanlar: 1. kişiden 10. kişiye kadar (10 kişi)
- 4500\text{ TL} alanlar: 11. kişiden 25. kişiye kadar (10 + 15 = 25 kişi)
- 5300\text{ TL} alanlar: 26. kişiden 60. kişiye kadar (25 + 35 = 60 kişi)
- 6200\text{ TL} alanlar: 61. kişiden 108. kişiye kadar (60 + 48 = 108 kişi)
- 6900\text{ TL} alanlar: 109. kişiden 120. kişiye kadar (108 + 12 = 120 kişi)
Buradan:
- 60. terim = 5300\text{ TL}
- 61. terim = 6200\text{ TL}
Adım 4 — Medyan Değerini Hesaplama
Belirlenen iki terimin aritmetik ortalamasını alalım:
\text{Medyan} = \frac{5300 + 6200}{2} = \frac{11500}{2} = 5750\text{ TL}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 5750
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Medyan (Ortanca Değer)
- Tanım: Küçükten büyüğe sıralanmış bir seriyi tam ortadan iki eşit parçaya bölen değerdir.
- Bu problemde: 120 verilik grupta tam ortada kalan 60. ve 61. verilerin ortalaması alınarak medyan bulunmuştur.
2. Frekans (Kişi Sayısı) ve Kümülatif Toplam
- Tanım: Bir değerin veri kümesinde kaç kez tekrar ettiğini ve toplamda kaçıncı sıraya denk geldiğini gösterir.
- Bu problemde: Kişi sayıları sırayla eklenerek 60. ve 61. terimlerin hangi burs aralığına düştüğü tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Burs Değerlerinin Sayısına Göre Medyan Alma
- Yanlış: Tablodaki 5 farklı burs miktarını (3800, 4500, 5300, 6200, 6900) doğrudan sıralayıp ortadaki 5300’ü medyan seçmek.
- Doğru: Her burs miktarını alan kişi sayısını (frekansını) dikkate alarak 120 kişilik grubun ortasındaki değerleri bulmak.
- Neden yanlış: Veri grubu 5 elemandan değil, 120 öğrencinin burs verisinden oluşmaktadır.
Bu konuyu pekiştirmek için veri grubuna yeni bir öğrenci grubu eklendiğinde medyanın nasıl değişeceğine dair benzer bir soru çözmemi ister misin?