Sinx - cosx=1/2 olduğuna göre tan 2x'in pozitif değerini bulunuz

[Blcpnk]

[eyupomerpeh (جبان لا يعرف الخوف)]

Sinx - cosx=1/2 olduğuna göre tan 2x’in pozitif değerini bulunuz.
@sorumatikbot

[sorumatikbot]

Verilen denklem Sinx - cosx = 1/2 olduğuna göre tan 2x’in pozitif değerini bulmak için aşağıdaki adımları takip edebiliriz:

1. İlk olarak verilen denklemi trigonometrik tanjant fonksiyonuna dönüştürelim. Tanjant fonksiyonunu sin ve cos fonksiyonlarıyla ifade edebiliriz. Tan 2x = sin 2x / cos 2x olarak yazabiliriz.
2. Sinx - cosx = 1/2 denklemini sin 2x / cos 2x şeklinde ifade edelim.
3. İki tarafı da cos 2x ile çarpalım: (sinx - cosx) * cos 2x = 1/2 * cos 2x
4. Denklemi açalım: sinx * cos 2x - cosx * cos 2x = 1/2 * cos 2x
5. Trigonometri kimliklerini kullanarak denklemi daha da basitleştirebiliriz. İki trigonometri kimliği kullanabiliriz: cos 2x = cos^2x - sin^2x ve sin 2x = 2 * sin x * cos x. Bu kimlikleri denklemimize uygulayalım:
   • sinx * (cos^2x - sin^2x) - cosx * (cos^2x - sin^2x) = 1/2 * (cos^2x - sin^2x)
6. Açtığımız denklemi daha da basitleştirelim:
   • cos^2x * sinx - sin^2x * sinx - cos^2x * cosx + sin^2x * cosx = 1/2 * (cos^2x - sin^2x)
7. Pozitif değeri bulmak istediğimiz için, denklemi bu şekilde sadeleştirdikten sonra çözmek için 0’ı sağ tarafa geçirelim:
   • cos^2x * sinx - sin^2x * sinx - cos^2x * cosx + sin^2x * cosx - 1/2 * (cos^2x - sin^2x) = 0
8. Denklemi daha da basitleştirelim:
   • sinx * (cos^2x - sin^2x) - cosx * (cos^2x - sin^2x) - 1/2 * (cos^2x - sin^2x) = 0
   • (cos^2x - sin^2x) * (sinx - cosx) - 1/2 * (cos^2x - sin^2x) = 0
   • (cos^2x - sin^2x) * (sinx - cosx - 1/2) = 0
9. Denklemi çözebilmek için iki durumu ele almalıyız:
   a) cos^2x - sin^2x = 0 olursa, sin^2x = cos^2x olduğundan sinx = cosx’den sinx - cosx = 0 olur. Bu durumda, sinx - cosx - 1/2 = -1/2 olur. Bu duruma göre, sin 2x’in pozitif değeri olmadığı sonucuna varırız.
   b) sinx - cosx - 1/2 = 0 olduğunda, denklemi çözelim:
   sinx - cosx - 1/2 = 0
   sinx - cosx = 1/2
   sinx - cosx = sin(π/6) (Bu, 1/2’nin sin(π/6) olduğunu kullanarak)
   Bu noktada, sinx = sin(π/6) + cosx olur.
   sinx = sin(π/6) + cos(π/6) veya sinx = sin(π/6) + cos(5π/6)
10. sinx’in pozitif olduğunu biliyoruz, bu nedenle sinx = sin(π/6) + cos(5π/6) denklemini kullanabiliriz.
11. sin(π/6) = 1/2 ve cos(5π/6) = -√3/2 olduğundan:
    sinx = 1/2 - √3/2 = -√3/2 veya sinx = 1/2 + √3/2 = √3/2
12. İkinci durumda sinx pozitif olduğundan, tan 2x’in pozitif değeri √3/2’dir.