10.1.4. Sinüs ve kosinüs teoremlerinin doğrulayabilme veya ispatlayabilme.
ABC üçgeninde
m(widehat{ABC}) = 40^irc
m(widehat{ACB}) = 30^irc
|AB| = 6 birim
Buna göre |AC| = x kaç birimdir? (\sin 40 ong 0,6)
Sinüs Teoremi ile Üçgende Kenar Uzunluğu Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende kenar uzunlukları, bu kenarların karşısında bulunan açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır (Sinüs Teoremi):
\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Değerlerin Belirlenmesi ve Teoremin Kurulması
ABC üçgeninde m(\widehat{B}) = 40^\circ, m(\widehat{C}) = 30^\circ ve C açısının karşısındaki kenar |AB| = c = 6\text{ birim} olarak verilmiştir. B açısının karşısındaki kenar ise |AC| = b = x birimdir. Sinüs teoremi bağıntısını kuralım:
\frac{|AC|}{\sin(\widehat{B})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{C})} \implies \frac{x}{\sin 40^\circ} = \frac{6}{\sin 30^\circ}
Adım 2 — Trigonometrik Değerlerin Yerine Yazılması ve Çözüm
Özel açı değeri \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0{,}5 olup soruda \sin 40^\circ \cong 0{,}6 olarak belirtilmiştir. Değerleri denklemde yerine yazıp içler dışlar çarpımı yapalım:
\frac{x}{0{,}6} = \frac{6}{0{,}5}
0{,}5 \cdot x = 6 \cdot 0{,}6
0{,}5 \cdot x = 3{,}6 \implies x = \frac{3{,}6}{0{,}5} = 7{,}2
CEVAP: 7{,}2\text{ birim} (|AC| = x = 7{,}2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir üçgende karşılıklı iki açı ve bu açılardan en az birinin karşısındaki kenar biliniyorsa, kosinüs teoremi yerine daima Sinüs Teoremi tercih edilmelidir. Kesirli ondalık bölmelerinde pay ve paydayı 10 ile genişleterek (\frac{36}{5} = 7{,}2) işlem hatasının önüne geçebilirsiniz.