SİNÜS VE KOSİNÜS TEOREMİ
10.SINIF MATEMATİK
BAC bir dik üçgen
[BA] \perp [AC]
|AB| = 12 cm
|BD| = 10 cm
|AD| = 8 cm
olduğuna göre, |CD| kaç cm dir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Kosinüs Teoremi ile Dik Üçgende Kenar Uzunluğu Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende herhangi bir açının kosinüsü, Kosinüs Teoremi (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha) ile bulunur. Açısı ortak olan bir dik üçgende ise aynı açının kosinüsü doğrudan \cos B = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} bağıntısı ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — ABD Üçgeninde Kosinüs Teoremi ile \cos B Değerini Bulma
ABD üçgeninde verilen kenar uzunlukları |AB| = 12\text{ cm}, |BD| = 10\text{ cm} ve |AD| = 8\text{ cm}'dir. B açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır:
|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos B
8^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos B
64 = 144 + 100 - 240 \cdot \cos B
240 \cdot \cos B = 180 \implies \cos B = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}
Adım 2 — BAC Dik Üçgeninde Hipotenüs ve |CD| Uzunluğunu Bulma
[BA] \perp [AC] olduğundan BAC bir dik üçgendir. B dar açısının kosinüs değeri komşu dik kenarın hipotenüse oranına eşittir:
\cos B = \frac{|AB|}{|BC|}
\frac{3}{4} = \frac{12}{|BC|} \implies 3 \cdot |BC| = 48 \implies |BC| = 16\text{ cm}
|BC| = |BD| + |CD| olduğundan aranan |CD| uzunluğu:
16 = 10 + |CD| \implies |CD| = 6\text{ cm}
CEVAP: C) 6 (|CD| = 6\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç içe geçmiş veya ortak açısı olan üçgenlerde bilinmeyen kenara ulaşmak için önce üç kenarı bilinen üçgenden açının trigonometrik değeri bulunur, ardından dik üçgendeki temel oranla pratikçe çözüme gidilir.