Sinifdəki oğlanların sayını 20\% artırıb, qızların sayını 30\% azaltdıqda şagirdlərin sayı dəyişməzsə, sinifdə ən azı neçə şagird var? (2021-sınaq blok.)
A) 15
B) 12
C) 10
D) 20
E) 25
Faiz Məsələləri və Tam Ədədlərlə Modelləşdirmə
İSTİFADƏ OLUNAN QAYDA: Şagirdlərin ümumi sayının dəyişməməsi üçün oğlanların sayındakı artım qızların sayındakı azalmaya bərabər olmalıdır. İnsan sayı kəsr ola bilməyəcəyindən həm ilkin, həm də dəyişən şagird sayları natural ədəd olmalıdır.
HƏLL ADDIMLARI
Addım 1 — Dəyişənlərin təyini və bərabərliyin qurulması
Sinifdəki oğlanların sayını o, qızların sayını isə q ilə işarə edək (o, q \in \mathbb{N}). Şagirdlərin ümumi sayı dəyişmirsə, oğlanların 20\%-i qızların 30\%-nə bərabərdir:
0{,}20 \cdot o = 0{,}30 \cdot q \implies 2o = 3q \implies \frac{o}{q} = \frac{3}{2}
Buradan oğlanların sayı o = 3k, qızların sayı isə q = 2k olar (k \in \mathbb{N}).
Addım 2 — Natural ədəd şərtinin yoxlanması
Oğlanların 20\%-i və qızların 30\%-i natural ədəd (tam sayda şagird) olmalıdır:
\text{Artan oğlan sayı} = \frac{20}{100} \cdot 3k = \frac{3k}{5}
\text{Azalan qız sayı} = \frac{30}{100} \cdot 2k = \frac{3k}{5}
\frac{3k}{5} ifadəsinin natural ədəd olması üçün k ədədi mütləq 5-ə bölünməlidir. Sayın ən az olması üçün k = 5 götürülür.
Addım 3 — Şagirdlərin ən az sayının tapılması
- Oğlanların sayı: o = 3 \cdot 5 = 15
- Qızların sayı: q = 2 \cdot 5 = 10
\text{Cəmi şagird sayı} = 15 + 10 = 25
CEVAP: E) 25 (o + q = 25)
İMTAHAN QEYDİ: Bu tipli məsələlərdə tələbələr çox vaxt yalnız \frac{o}{q} = \frac{3}{2} nisbətini tapıb 3 + 2 = 5 və ya k=2 üçün 6 + 4 = 10 (C variantı) cavabını seçərək səhv edirlər. Lakin 6-nın 20\%-i 1{,}2 şagird edir və insan sayı kəsr ola bilməz. Faiz hesablanarkən alınan nəticənin mütləq tam ədəd olması vacib şərtdir.
@Akademik_Rehber Başa düşmedime
Məsələni ən sadə dillə, addım-addım anlayaq:
1. Əsas məntiq nədir?
Sinifdəki şagirdlərin ümumi sayı dəyişmirsə, deməli əlavə olunan oğlanların sayı = sinifdən çıxan qızların sayına.
- Oğlanların 20\%-i = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}-i (yəni oğlanların 5-də biri qədər artım olub).
- Qızların 30\%-i = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}-u (yəni qızların 10-da 3-ü qədər azalma olub).
Bu iki miqdar bir-birinə bərabərdir:
\frac{1}{5} \cdot \text{Oğlan} = \frac{3}{10} \cdot \text{Qız}
Hər tərəfi 10-a vursaq:
2 \cdot \text{Oğlan} = 3 \cdot \text{Qız}
Buradan nisbət çıxır:
- Oğlanların sayı 3-ün qatları olmalıdır (3, 6, 9, 12, 15, \dots)
- Qızların sayı 2-nin qatları olmalıdır (2, 4, 6, 8, 10, \dots)
2. Ən vacib “tələ” haradadır?
İnsan sayı yarımçıq ola bilməz (məsələn, 1.5 nəfər insan olmur). Artan və ya azalan şagird sayı mütləq tam sayda olmalıdır.
Gəl ən kiçik ədədləri yoxlayaq:
- Əgər oğlan = 3, qız = 2 olsa:
3 nəfərin 20\%-i: 3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 nəfər edir. (Yarımçıq insan ola bilməz!
) - Əgər oğlan = 6, qız = 4 olsa:
6 nəfərin 20\%-i: 6 \cdot 0{,}2 = 1{,}2 nəfər edir. (Yenə kəsr alındı!)
Oğlanların 20\%-nin, yəni \frac{1}{5}-nin tam ədəd olması üçün oğlanların sayı 5-ə bölünən ədəd olmalıdır.
- Oğlanların sayı həm 3-ün, həm də 5-in qatı olmalıdır \rightarrow Ən az 3 \times 5 = 15 oğlan.
- 2 \cdot \text{Oğlan} = 3 \cdot \text{Qız} olduğuna görə:
2 \cdot 15 = 3 \cdot \text{Qız} \implies 30 = 3 \cdot \text{Qız} \implies \text{Qız} = 10.
3. Yoxlayaq:
- 15 oğlanın 20\%-i = 3 oğlan artdı (tam ədəddir )
- 10 qızın 30\%-i = 3 qız azaldı (tam ədəddir )
- 3 nəfər gəldi, 3 nəfər getdi \rightarrow Ümumi say dəyişmədi!
Cəmi şagird sayı:
15 + 10 = 25
Doğru cavab buna görə E variantı (25) olur.