Sinem, A = \{n ın mathbb{Z}^+, 20 < n leq 48\} kümesindeki elemanlardan,
- Hem 3’ün hem de 4’ün katı olan sayıların tamamını mavi renkli bir kâğıda yazıyor.
Buna göre
I.
a^b + b^a
II. a dot b + a + b
III.
\frac{a+b}{2}
ifadelerinden hangileri çifttir?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
Kümedeki Elemanların Şartlara Göre Ayrılması ve Tek-Çift Sayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Terim Sayısı Formülü: \text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
- 3 ve 4’ün ortak katları: \text{EKOK}(3, 4) = 12’nin katlarıdır.
- Tek-Çift Sayı Kuralları:
- \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}
- \text{Tek} \times \text{Tek} = \text{Tek}
- \text{Tek}^{\text{Pozitif Tam Sayı}} = \text{Tek}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Kümesinin Elemanlarını ve Toplam Sayı Adedini Belirleme
A = \{n \in \mathbb{Z}^+, 20 < n \le 48\} kümesindeki sayılar 21’den 48’e kadar olan ardışık tam sayılardır.
- Tek Sayılar: 21, 23, 25, \dots, 47 \implies \frac{47 - 21}{2} + 1 = 14 adet
- Çift Sayılar: 22, 24, 26, \dots, 48 \implies \frac{48 - 22}{2} + 1 = 14 adet
Adım 2 — Mavi Kâğıda Yazılan Sayıları Bulma
Hem 3’ün hem de 4’ün katı olan (12’nin katı) sayılar mavi kâğıda yazılır:
- \{24, 36, 48\} \implies 3 adet çift sayı (mavi kâğıda yazılır).
- 12’nin katı olan hiçbir tek sayı yoktur.
Adım 3 — Kalan Sayılar Arasındaki Asal Sayıları Belirleme
20 < n \le 48 aralığındaki asal sayılar:
- \{23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\} \implies 7 adet tek asal sayı vardır.
- Bu aralıkta hiçbir çift asal sayı bulunmaz (2 hariç çift asal sayı yoktur).
Adım 4 — Pembe Kâğıda Yazılan Sayıların Adetlerini (a ve b) Hesaplama
Pembe kâğıda; 12’nin katı olmayan ve asal olmayan sayılar yazılır:
Adım 5 — İfadelerin Tek-Çift Durumlarını İnceleme (a = 7, b = 11)
-
I. İfade: a^b + b^a = 7^{11} + 11^7
\text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}
(I. ifade çifttir)
-
II. İfade: a \cdot b + a + b = 7 \cdot 11 + 7 + 11 = 77 + 18 = 95
\text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}
(II. ifade tektir)
-
III. İfade: \frac{a + b}{2} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9
(III. ifade tektir)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) Yalnız I
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tek ve Çift Sayıların Kuvvetleri
- Tanım: Pozitif tam sayı üsleri, bir sayının tekliğini veya çiftliğini değiştirmez.
- Bu problemde: a ve b tek sayı olduğu için a^b ve b^a ifadelerinin her ikisi de tek kalmış ve toplamları çift olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çift Asal Sayıyı Aramak
- Yanlış: Aralıktaki çift sayılardan da asal sayı çıkarmaya çalışmak.
- Doğru: 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. 20 < n \le 48 aralığında hiçbir çift asal sayı bulunmaz.
- Neden yanlış: 2’den büyük tüm çift sayılar 2’ye bölünebildiği için asal olamaz.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir tek-çift sayı veya küme sorusu çözmemi ister misin?
